Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11 - Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu, cùng với nhiều bài tập thực hành để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách nhanh chóng.
1. Phép chiếu vuông góc
1. Phép chiếu vuông góc
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) theo phương \(\Delta \) vuông góc với (P) được gọi là phép chiều vuông góc lên mặt phẳng (P).
Chú ý:
- Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
- Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc H’của hình H trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).
Định lí ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý: Nếu \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì \({0^0} \le \alpha \le {90^0}\).
Nhận xét: Nếu điểm A có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O không trung H. Khi đó góc giữa đường thẳng AO và mặt phẳng (P) bằng góc AOH.
Chương trình Hình học không gian lớp 11 đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy không gian và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Trong đó, kiến thức về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là nền tảng để tiếp cận các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của các khái niệm này theo chương trình Kết nối tri thức.
1. Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho MH vuông góc với (P). Kí hiệu: H = HM.
2. Tính chất:
3. Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng: Tập hợp các phép chiếu vuông góc của các điểm thuộc đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là hình chiếu của d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì d được gọi là đường thẳng vuông góc với (P).
1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P). Góc này nhỏ hơn hoặc bằng 90o.
2. Tính góc: Gọi d' là hình chiếu của d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90o. Nếu d không vuông góc với (P) thì góc giữa d và (P) là góc nhọn α thỏa mãn sin α = MH / MD, với M là một điểm bất kỳ trên d, H là hình chiếu của M lên (P) và D là một điểm bất kỳ trên d'.
1. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nằm trong hai mặt phẳng tương ứng.
2. Tính góc: Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta thường tìm một đường thẳng vuông góc với giao tuyến trong mỗi mặt phẳng, sau đó tính góc giữa hai đường thẳng này.
1. Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
2. Định lý 2: Nếu đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d' nằm trong mặt phẳng (P) thì d không vuông góc với (P).
3. Định lý 3: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Hướng dẫn:
Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) biết AB = 5cm và hình chiếu của AB lên (P) là 4cm.
Hướng dẫn:
Lý thuyết về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và định lý liên quan sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này. Chúc bạn học tập tốt!
