Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu song song

Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - Giải Toán 11 Cánh Diều

Chương VIII của sách Toán 11 - Cánh Diều tập 2 đi sâu vào nghiên cứu về quan hệ vuông góc trong không gian, một phần kiến thức nền tảng quan trọng trong hình học không gian. Chương này không chỉ cung cấp các định nghĩa, tính chất cơ bản mà còn hướng dẫn học sinh cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khái niệm về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là trọng tâm của chương này. Một đường thẳng được coi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng đó.

• Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
• Điều kiện cần và đủ: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d vuông góc với một đường thẳng nằm trong (P) và d không nằm trong (P).

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ. Việc tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đòi hỏi kiến thức về vectơ và tích vô hướng.

Công thức tính góc α giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

sin(α) = |cos(θ)|, trong đó θ là góc giữa vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của (P).

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng đó. Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

Công thức tính góc φ giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):

cos(φ) = |cos(θ)|, trong đó θ là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

4. Phép chiếu song song

Phép chiếu song song là một phép biến hình quan trọng trong hình học không gian. Phép chiếu song song biến mỗi điểm trong không gian thành một điểm trên một mặt phẳng sao cho các đường thẳng nối mỗi điểm với ảnh của nó song song với nhau.

• Định nghĩa: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d là phép biến hình biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M' trên (P) sao cho MM' song song với d.
• Tính chất: Phép chiếu song song bảo toàn tỷ lệ giữa các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng.

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

1. Tính SC = √(SA² + AC²) = √(a² + (a√2)²) = a√3.
2. Gọi H là hình chiếu của S lên AC. Ta có SH ⊥ AC.
3. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và hình chiếu của nó trên (ABCD), tức là góc SCA.
4. tan(SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Suy ra SCA ≈ 35.26°.

Lời khuyên khi học chương VIII

• Nắm vững các định nghĩa, tính chất cơ bản về quan hệ vuông góc trong không gian.
• Luyện tập nhiều bài tập để hiểu rõ cách áp dụng các kiến thức vào giải quyết các bài toán cụ thể.
• Sử dụng hình vẽ để minh họa các khái niệm và bài toán.
• Tham khảo các tài liệu tham khảo, video bài giảng để có thêm kiến thức và phương pháp giải bài tập.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ học tốt Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian của Toán 11 - Cánh Diều tập 2. Chúc bạn thành công!