Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập một cách hiệu quả.
Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:
Đề bài
Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:
a) Chứng minh rằng \(BC\parallel \left( {SAD} \right)\) và tính khoảng cách giữa \(BC\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
b) Chứng minh rằng \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
‒ Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên mặt phẳng.
‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.
Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.
Lời giải chi tiết
a) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow BC\parallel A{\rm{D}}\)
Mà \(A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
\( \Rightarrow BC\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right)\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\)
\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SA{\rm{D}}} \right)} \right) = AB = a\)
Vậy \(d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = a\).
b) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot A{\rm{C}}\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot B{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)\)
Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\), kẻ \(OH \bot SC\left( {H \in SC} \right)\)
\(B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow B{\rm{D}} \bot OH\)
\( \Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = OH\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 3 \)
\(\Delta SAC \backsim \Delta OHC\,(g.g) \Rightarrow \frac{{SA}}{{OH}} = \frac{{SC}}{{OC}} \Rightarrow OH = \frac{{SA.OC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Vậy \(d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, và tìm cực trị của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều:
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Hãy tìm đạo hàm f'(x), xét dấu f'(x) và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.)
Để giải bài tập này, chúng ta thực hiện các bước sau:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x^2 - 6x
Để xét dấu f'(x), ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta lập bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + |
Dựa vào bảng xét dấu, ta có:
Khi giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, học sinh cần lưu ý:
Ngoài việc giải Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều, học sinh nên tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của đạo hàm trong thực tế, như:
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều hoặc các đề thi thử Toán 11.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phân tích kỹ lưỡng này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.
