Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3 trang 81 và 82 sách giáo khoa Toán 11 tập 2, chương trình Cánh Diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho điểm O và đường thẳng a.
Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).
a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?
b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ để trả lời
Lời giải chi tiết:
a) Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b \subset \left( P \right)\\a \bot c \subset \left( P \right)\\b\cap c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\)
b) Chỉ có 1 mặt phẳng duy nhất đi qua điểm O và vuông góc với a
Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ để trả lời
Lời giải chi tiết:
Vì sàn nhà là một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d. Mà đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đó nên đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng a
Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua O. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b (Hình 18).
a) Giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?
b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)?
Phương pháp giải:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhàu nằm trong mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\\Delta \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \Delta \)
\(\left\{ \begin{array}{l}b \bot \left( R \right)\\\Delta \subset \left( R \right)\end{array} \right. \Rightarrow b \bot \Delta \)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot a \subset \left( R \right)\\\Delta \bot b \subset \left( R \right)\\a\cap b\end{array} \right. \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)
b) Chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, \(a \bot (P)\). Giả sử điểm M thỏa mãn \(OM \bot (P)\). Chứng minh rằng \(M \in a\).
Phương pháp giải:
Chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Vì chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước nên nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a \cap (P) = O\\a \bot (P)\\OM \bot (P)\end{array} \right. \Rightarrow M \in a\)
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 2 Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định lý, tính chất đã học để chứng minh mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, xác định góc giữa chúng, và giải các bài toán thực tế liên quan.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Để giải bài tập này, các em cần nắm vững các định nghĩa về đường thẳng song song, cắt nhau, và chéo nhau. Ngoài ra, các em cũng cần biết cách sử dụng các dấu hiệu nhận biết để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Để giải bài tập này, các em cần nắm vững định nghĩa về góc giữa hai đường thẳng và công thức tính góc giữa chúng. Ngoài ra, các em cũng cần biết cách sử dụng các vectơ để biểu diễn các đường thẳng và tính góc giữa chúng.
Ví dụ, để tính góc giữa hai đường thẳng a và b, ta có thể sử dụng công thức:
cos(θ) = |(a.b)| / (|a| * |b|)
Trong đó, θ là góc giữa hai đường thẳng a và b, a.b là tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của a và b, |a| và |b| là độ dài của hai vectơ chỉ phương đó.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Để giải bài tập này, các em cần nắm vững định nghĩa về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và các dấu hiệu nhận biết. Ngoài ra, các em cũng cần biết cách sử dụng các định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh.
Một trong những dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó thì nó vuông góc với mặt phẳng.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh giải các bài toán thực tế liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài tập này, các em cần vận dụng các kiến thức đã học để phân tích bài toán, xây dựng mô hình toán học, và giải quyết bài toán.
Ngoài SGK Toán 11 tập 2 Cánh Diều, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt môn Toán:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trong mục 3 trang 81, 82 SGK Toán 11 tập 2 Cánh Diều, các em sẽ hiểu rõ hơn về các kiến thức liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, và đạt kết quả tốt nhất trong học tập. Chúc các em học tốt!
