Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giải chi tiết và phân tích

Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản và các điều kiện để một điểm là điểm cực trị của hàm số.

Phần 1: Đề bài và yêu cầu

Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm f'(x) của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và xác định các điểm cực trị của hàm số.

Phần 2: Giải bài toán

1. Tính đạo hàm f'(x):

Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:

f'(x) = 3x² - 6x

2. Tìm các điểm cực trị:

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

3. Xác định loại điểm cực trị:

Để xác định loại điểm cực trị, ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:

• Khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0, hàm số đồng biến.
• Khoảng (0, 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0, hàm số nghịch biến.
• Khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0, hàm số đồng biến.

Vậy:

• Tại x = 0, hàm số đạt cực đại. Giá trị cực đại là f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2.
• Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2.

Phần 3: Kết luận

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.

Phần 4: Mở rộng và bài tập tương tự

Để hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều. Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm hiểu thêm về các phương pháp giải bài toán cực trị khác, chẳng hạn như sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định loại điểm cực trị.

Phần 5: Lưu ý khi giải bài toán cực trị

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
• Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm.
• Xác định chính xác dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Phần 6: Ứng dụng của bài toán cực trị trong thực tế

Bài toán cực trị có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó.
• Tối ưu hóa các quy trình sản xuất.
• Giải quyết các bài toán kinh tế.

Phần 7: Tổng kết

Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.