Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn

Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn: Định nghĩa và Điều kiện

Trong hình học, hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên, việc chứng minh tất cả các cạnh và góc bằng nhau có thể tốn nhiều thời gian. Do đó, người ta đã tìm ra các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, trong đó có trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn.

Định nghĩa: Hai tam giác vuông bằng nhau nếu chúng có một cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau.

Điều kiện: Cho hai tam giác vuông ABC và A'B'C' vuông tại A và A' tương ứng. Nếu:

• BC = B'C' (cạnh huyền bằng nhau)
• ∠B = ∠B' (góc nhọn bằng nhau)

Thì ΔABC = ΔA'B'C' (cạnh huyền – góc nhọn).

Chứng minh Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn

Để chứng minh trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn, ta có thể sử dụng các kiến thức về tổng các góc trong một tam giác và các tính chất của tam giác vuông.

Chứng minh:

1. Xét hai tam giác vuông ABC và A'B'C' vuông tại A và A' tương ứng.
2. Giả sử BC = B'C' và ∠B = ∠B'.
3. Vì ΔABC vuông tại A, nên ∠C = 90° - ∠B.
4. Vì ΔA'B'C' vuông tại A', nên ∠C' = 90° - ∠B'.
5. Do ∠B = ∠B', suy ra ∠C = ∠C'.
6. Vậy, ΔABC = ΔA'B'C' (góc – cạnh – góc).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, BC = 5cm. Cho tam giác A'B'C' vuông tại A', B'C' = 5cm, ∠B' = ∠B. Chứng minh ΔABC = ΔA'B'C'.

Giải:

Xét ΔABC và ΔA'B'C':

• BC = B'C' (giả thiết)
• ∠B = ∠B' (giả thiết)
• ∠A = ∠A' = 90° (hai tam giác vuông)

Vậy, ΔABC = ΔA'B'C' (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A'B'C' vuông tại A'. Biết AB = A'B' = 4cm và AC = A'C' = 3cm. Chứng minh ΔABC = ΔA'B'C'.

Giải:

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

Suy ra BC = 5cm.

Tương tự, áp dụng định lý Pytago vào tam giác A'B'C', ta có:

B'C'² = A'B'² + A'C'² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

Suy ra B'C' = 5cm.

Xét ΔABC và ΔA'B'C':

• BC = B'C' (chứng minh trên)
• AB = A'B' (giả thiết)

Vậy, ΔABC = ΔA'B'C' (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, BC = 13cm. Cho tam giác A'B'C' vuông tại A', B'C' = 13cm, ∠B' = ∠B. Chứng minh ΔABC = ΔA'B'C'.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A'B'C' vuông tại A'. Biết AB = A'B' = 6cm và ∠B = ∠B'. Chứng minh ΔABC = ΔA'B'C'.

3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8cm, AC = 6cm. Cho tam giác DEF vuông tại D, DE = 8cm, DF = 6cm. Chứng minh ΔABC = ΔDEF.

Ứng dụng của Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn

Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông, đặc biệt là trong việc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau. Nó giúp đơn giản hóa quá trình chứng minh và tiết kiệm thời gian.

Kết luận

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức đầy đủ và chi tiết về trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.