Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bạc Liêu năm 2020 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này bao gồm các đề thi chính thức của kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên và không chuyên của tỉnh Bạc Liêu năm 2020, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải bài tập. Các em có thể sử dụng bộ đề này để tự học, luyện tập hoặc tham khảo ý tưởng giải bài.
Câu 1 (4 điểm): a) Rút gọn biểu thức
Câu 1 (4 điểm):
a) Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {48} + \sqrt {125} - 5\sqrt 5 \)
b) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa.
Câu 2 (4 điểm):
a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\x - 4y = 3\end{array} \right.\)
b) Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 3x + b\). Xác định giá trị của \(b\) bằng phép tính để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\).
Câu 3 (6 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
c) Xác định giá trị của \(m\) để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\).
Câu 4 (6 điểm):
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\), \(E\) là điểm thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(E\) không trùng với \(A\) và \(B\). Dựng đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(EI\). Đường thẳng \(d\) cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).
a) Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\). Từ đó chứng minh \(IB.NE = 3IE.NB\).
c) Khi điểm \(E\) thay đổi, chứng minh tam giác \(MNI\) vuông tại \(I\) và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) theo \(R\).
Câu 1 (4 điểm):
a) Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {48} + \sqrt {125} - 5\sqrt 5 \)
b) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa.
Câu 2 (4 điểm):
a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\x - 4y = 3\end{array} \right.\)
b) Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 3x + b\). Xác định giá trị của \(b\) bằng phép tính để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\).
Câu 3 (6 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
c) Xác định giá trị của \(m\) để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\).
Câu 4 (6 điểm):
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\), \(E\) là điểm thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(E\) không trùng với \(A\) và \(B\). Dựng đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(EI\). Đường thẳng \(d\) cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).
a) Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\). Từ đó chứng minh \(IB.NE = 3IE.NB\).
c) Khi điểm \(E\) thay đổi, chứng minh tam giác \(MNI\) vuông tại \(I\) và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) theo \(R\).
Câu 1 (VD) - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
a) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,\,B \ge 0.\)
b) Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)
Cách giải:
a) Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {48} + \sqrt {125} - 5\sqrt 5 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {48} + \sqrt {125} - 5\sqrt 5 \\A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {{4^2}.3} + \sqrt {{5^2}.5} - 5\sqrt 5 \\A = 2\sqrt 3 + 5.4\sqrt 3 + 5\sqrt 5 - 5\sqrt 5 \\A = \left( {2\sqrt 3 + 20\sqrt 3 } \right) + \left( {5\sqrt 5 - 5\sqrt 5 } \right)\\A = 22\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \(A = 22\sqrt 3 \).
b) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa
Biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa khi và chỉ khi \(3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 4 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{4}{3}\).
Vậy biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa khi\(x \ge \dfrac{4}{3}\).
Câu 2 (VD) - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right).\)
Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, do đó để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta = 0.\)
Cách giải:
a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\x - 4y = 3\end{array} \right.\)
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\x - 4y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 8\\x - 4y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x - 4y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2 - 4y = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\4y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - \dfrac{1}{4}} \right)\).
b) Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 3x + b\). Xác định giá trị của \(b\) bằng phép tính để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\):
\(2{x^2} = 3x + b \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - b = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, do đó để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép.
\( \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - b} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 9 + 8b = 0 \Leftrightarrow b = - \dfrac{9}{8}\).
Vậy để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\) thì \(b = - \dfrac{9}{8}\).
Câu 3 (VD) - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Phương pháp:
a) Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) rồi giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích.
b) Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac.\) Chứng minh \(\Delta \ge 0\) với mọi \(m\) \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để giải phương trình tìm \(m.\)
Đối chiếu với điều kiện của \(m\) rồi kết luận.
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).
Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 3x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = 4\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;4} \right\}\).
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)có
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - m} \right)\\\Delta = {m^2} - 2m + 1 + 4m\\\Delta = {m^2} + 2m + 1\\\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\)
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
c) Xác định giá trị của \(m\) để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\).
Theo ý b) ta có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2}\).
Để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta > 0\).
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3{x_1} + x_1^2 + 3{x_2} + x_2^2 = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} - 2.\left( { - m} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3m - 3 + {m^2} - 2m + 1 + 2m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 2m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4 (VDC) - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học
Phương pháp:
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.
b) Chứng minh các tam giác nội tiếp qua trường hợp góc – góc.
Từ đó suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng rồi suy ra đẳng thức cần chứng minh.
c) Chứng minh tứ giác \(BNEI\) nội tiếp và từ tứ giác \(AMEI\) nội tiếp, suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.
Từ đó suy ra \(\Delta MNI\) là tam giác vuông.
Sử dụng các tỉ số lượng giác để tìm vị trí của điểm \(E\) để diện tích \(\Delta MNI\) nội tiếp.
Cách giải:
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\), \(E\) là điểm thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(E\) không trùng với \(A\) và \(B\). Dựng đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(EI\). Đường thẳng \(d\) cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).
a) Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
Vì \({d_1}\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A\) nên \(\angle IAM = {90^0}\).
Vì \(d \bot EI\) tại \(E\) nên \(\angle IEM = {90^0}\).
Xét tứ giác \(AMEI\) có \(\angle IAM + \angle IEM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Vậy tứ giác \(AMEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) Chứng minh \(\Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\). Từ đó chứng minh \(IB.NE = 3IE.NB\).
Vì \(\angle AEB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle AEB = {90^0}\).
Ta có: \(\angle AEI + \angle IEB = \angle AEB = {90^0}\).
\(\angle BEN + \angle IEB = \angle IEN = {90^0}\) (do \(d \bot IE\))
\( \Rightarrow \angle AEI = \angle BEN\) (cùng phụ với \(\angle IEB\))
Xét \(\Delta IAE\) và \(\Delta NBE\) có:
\(\angle AEI = \angle BEN\,\,\,\left( {cmt} \right);\)
\(\angle IAE = \angle NBE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\))
\( \Rightarrow \Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\) (g.g).
\( \Rightarrow \dfrac{{IE}}{{NE}} = \dfrac{{IA}}{{NB}}\) (2 cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow IA.NE = IE.NB\) (1).
Mà \(I\) là trung điểm của \(OA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OA = 2IA\).
Lại có \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AB = 2OA = 4IA\).
\( \Rightarrow IB = AB - IA = 4IA - IA = 3IA\).
Khi đó ta có:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3IA.NE = 3IE.NB\) (nhân cả 2 vế với 3) \( \Rightarrow IB.NE = 3IE.NB\) (đpcm).
c) Khi điểm \(E\) thay đổi, chứng minh tam giác \(MNI\) vuông tại \(I\) và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) theo \(R\).
Xét tứ giác \(BNEI\) có:
\(\angle IEN = {90^0}\) (do \(d \bot IE\) tại \(E\))
\(\angle IBN = {90^0}\) (do \({d_2}\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\))
\( \Rightarrow \angle IEN + \angle IBN = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BNEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle INE = \angle IEB = \angle ABE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\))
Lại có: Tứ giác \(AMEI\) là tứ giác nội tiếp (chứng minh ý a)
\( \Rightarrow \angle IME = \angle IAE = \angle BAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\))
Xét tam giác \(MNI\) có:
\(\angle INE + \angle IME = \angle ABE + \angle BAE = {90^0}\) (do \(\angle AEB = {90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên tam giác \(AEB\) vuông tại \(E\)).
\( \Rightarrow \Delta MNI\) vuông tại \(I\) (tam giác có tổng hai góc nhọn bằng \({90^0}\)).
Ta có: \({S_{\Delta MNI}} = \dfrac{1}{2}IM.IN\).
Đặt \(\angle AIM = \alpha \,\,\left( {0 < \alpha < {{90}^0}} \right)\) \( \Rightarrow \angle BIN = {90^0} - \alpha \).
Xét tam giác vuông \(AIM\) ta có: \(\cos \alpha = \dfrac{{AI}}{{IM}} \Rightarrow IM = \dfrac{{AI}}{{\cos \alpha }}\).
Xét tam giác vuông \(BIN\) ta có: \(\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \dfrac{{BI}}{{IN}} \Rightarrow IN = \dfrac{{BI}}{{\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)}} = \dfrac{{BI}}{{\sin \alpha }}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} = \dfrac{1}{2}IM.IN\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AI}}{{\cos \alpha }}.\dfrac{{BI}}{{\sin \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{AI.BI}}{{\sin \alpha .cos\alpha }}\end{array}\)
Ta có: \(AB = 4AI\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AI = \dfrac{1}{4}AB = \dfrac{R}{2},\,\,BI = \dfrac{3}{4}AB = \dfrac{{3R}}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} = \dfrac{{\dfrac{{3{R^2}}}{4}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{3{R^2}}}{8}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\).
Do \(\dfrac{{3{R^2}}}{8}\) không đổi nên diện tích tam giác \(MNI\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\sin \alpha .\cos \alpha \) đạt giá trị lớn nhất.
Vì \({0^0} < \alpha < {90^0}\) nên \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha > 0\). Áp dụng BĐT Co-si ta có:
\(\sin \alpha .\cos \alpha \le \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\forall \alpha \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} \le \dfrac{{3{R^2}}}{8}:\dfrac{1}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \alpha \\{\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha \end{array} \right. \Rightarrow \sin \alpha = \cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Rightarrow \alpha = {45^0}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) là \(\dfrac{{3{R^2}}}{4}\), đạt được khi \(\angle AIM = {45^0}\).
Câu 1 (VD) - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
a) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,\,B \ge 0.\)
b) Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)
Cách giải:
a) Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {48} + \sqrt {125} - 5\sqrt 5 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {48} + \sqrt {125} - 5\sqrt 5 \\A = 2\sqrt 3 + 5\sqrt {{4^2}.3} + \sqrt {{5^2}.5} - 5\sqrt 5 \\A = 2\sqrt 3 + 5.4\sqrt 3 + 5\sqrt 5 - 5\sqrt 5 \\A = \left( {2\sqrt 3 + 20\sqrt 3 } \right) + \left( {5\sqrt 5 - 5\sqrt 5 } \right)\\A = 22\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \(A = 22\sqrt 3 \).
b) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa
Biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa khi và chỉ khi \(3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 4 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{4}{3}\).
Vậy biểu thức \(B = \sqrt {3x - 4} \) có nghĩa khi\(x \ge \dfrac{4}{3}\).
Câu 2 (VD) - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right).\)
Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, do đó để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta = 0.\)
Cách giải:
a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\x - 4y = 3\end{array} \right.\)
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\x - 4y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 8\\x - 4y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x - 4y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2 - 4y = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\4y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - \dfrac{1}{4}} \right)\).
b) Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 3x + b\). Xác định giá trị của \(b\) bằng phép tính để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\):
\(2{x^2} = 3x + b \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - b = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, do đó để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép.
\( \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - b} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 9 + 8b = 0 \Leftrightarrow b = - \dfrac{9}{8}\).
Vậy để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\) thì \(b = - \dfrac{9}{8}\).
Câu 3 (VD) - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Phương pháp:
a) Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) rồi giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích.
b) Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac.\) Chứng minh \(\Delta \ge 0\) với mọi \(m\) \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để giải phương trình tìm \(m.\)
Đối chiếu với điều kiện của \(m\) rồi kết luận.
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).
Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 3x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = 4\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;4} \right\}\).
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)có
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - m} \right)\\\Delta = {m^2} - 2m + 1 + 4m\\\Delta = {m^2} + 2m + 1\\\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\)
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
c) Xác định giá trị của \(m\) để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\).
Theo ý b) ta có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2}\).
Để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta > 0\).
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3{x_1} + x_1^2 + 3{x_2} + x_2^2 = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} - 2.\left( { - m} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3m - 3 + {m^2} - 2m + 1 + 2m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 2m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4 (VDC) - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học
Phương pháp:
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.
b) Chứng minh các tam giác nội tiếp qua trường hợp góc – góc.
Từ đó suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng rồi suy ra đẳng thức cần chứng minh.
c) Chứng minh tứ giác \(BNEI\) nội tiếp và từ tứ giác \(AMEI\) nội tiếp, suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.
Từ đó suy ra \(\Delta MNI\) là tam giác vuông.
Sử dụng các tỉ số lượng giác để tìm vị trí của điểm \(E\) để diện tích \(\Delta MNI\) nội tiếp.
Cách giải:
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\), \(E\) là điểm thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(E\) không trùng với \(A\) và \(B\). Dựng đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(EI\). Đường thẳng \(d\) cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).
a) Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
Vì \({d_1}\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A\) nên \(\angle IAM = {90^0}\).
Vì \(d \bot EI\) tại \(E\) nên \(\angle IEM = {90^0}\).
Xét tứ giác \(AMEI\) có \(\angle IAM + \angle IEM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Vậy tứ giác \(AMEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) Chứng minh \(\Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\). Từ đó chứng minh \(IB.NE = 3IE.NB\).
Vì \(\angle AEB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle AEB = {90^0}\).
Ta có: \(\angle AEI + \angle IEB = \angle AEB = {90^0}\).
\(\angle BEN + \angle IEB = \angle IEN = {90^0}\) (do \(d \bot IE\))
\( \Rightarrow \angle AEI = \angle BEN\) (cùng phụ với \(\angle IEB\))
Xét \(\Delta IAE\) và \(\Delta NBE\) có:
\(\angle AEI = \angle BEN\,\,\,\left( {cmt} \right);\)
\(\angle IAE = \angle NBE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\))
\( \Rightarrow \Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\) (g.g).
\( \Rightarrow \dfrac{{IE}}{{NE}} = \dfrac{{IA}}{{NB}}\) (2 cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow IA.NE = IE.NB\) (1).
Mà \(I\) là trung điểm của \(OA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OA = 2IA\).
Lại có \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AB = 2OA = 4IA\).
\( \Rightarrow IB = AB - IA = 4IA - IA = 3IA\).
Khi đó ta có:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3IA.NE = 3IE.NB\) (nhân cả 2 vế với 3) \( \Rightarrow IB.NE = 3IE.NB\) (đpcm).
c) Khi điểm \(E\) thay đổi, chứng minh tam giác \(MNI\) vuông tại \(I\) và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) theo \(R\).
Xét tứ giác \(BNEI\) có:
\(\angle IEN = {90^0}\) (do \(d \bot IE\) tại \(E\))
\(\angle IBN = {90^0}\) (do \({d_2}\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\))
\( \Rightarrow \angle IEN + \angle IBN = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BNEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle INE = \angle IEB = \angle ABE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\))
Lại có: Tứ giác \(AMEI\) là tứ giác nội tiếp (chứng minh ý a)
\( \Rightarrow \angle IME = \angle IAE = \angle BAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\))
Xét tam giác \(MNI\) có:
\(\angle INE + \angle IME = \angle ABE + \angle BAE = {90^0}\) (do \(\angle AEB = {90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên tam giác \(AEB\) vuông tại \(E\)).
\( \Rightarrow \Delta MNI\) vuông tại \(I\) (tam giác có tổng hai góc nhọn bằng \({90^0}\)).
Ta có: \({S_{\Delta MNI}} = \dfrac{1}{2}IM.IN\).
Đặt \(\angle AIM = \alpha \,\,\left( {0 < \alpha < {{90}^0}} \right)\) \( \Rightarrow \angle BIN = {90^0} - \alpha \).
Xét tam giác vuông \(AIM\) ta có: \(\cos \alpha = \dfrac{{AI}}{{IM}} \Rightarrow IM = \dfrac{{AI}}{{\cos \alpha }}\).
Xét tam giác vuông \(BIN\) ta có: \(\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \dfrac{{BI}}{{IN}} \Rightarrow IN = \dfrac{{BI}}{{\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)}} = \dfrac{{BI}}{{\sin \alpha }}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} = \dfrac{1}{2}IM.IN\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AI}}{{\cos \alpha }}.\dfrac{{BI}}{{\sin \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{AI.BI}}{{\sin \alpha .cos\alpha }}\end{array}\)
Ta có: \(AB = 4AI\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AI = \dfrac{1}{4}AB = \dfrac{R}{2},\,\,BI = \dfrac{3}{4}AB = \dfrac{{3R}}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} = \dfrac{{\dfrac{{3{R^2}}}{4}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{3{R^2}}}{8}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\).
Do \(\dfrac{{3{R^2}}}{8}\) không đổi nên diện tích tam giác \(MNI\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\sin \alpha .\cos \alpha \) đạt giá trị lớn nhất.
Vì \({0^0} < \alpha < {90^0}\) nên \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha > 0\). Áp dụng BĐT Co-si ta có:
\(\sin \alpha .\cos \alpha \le \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\forall \alpha \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} \le \dfrac{{3{R^2}}}{8}:\dfrac{1}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \alpha \\{\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha \end{array} \right. \Rightarrow \sin \alpha = \cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Rightarrow \alpha = {45^0}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) là \(\dfrac{{3{R^2}}}{4}\), đạt được khi \(\angle AIM = {45^0}\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của mỗi học sinh. Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi này, việc nắm vững kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn đọc phân tích chi tiết về Đề thi vào 10 môn Toán Bạc Liêu năm 2020, cùng với hướng dẫn giải các bài toán thường gặp.
Đề thi vào 10 môn Toán Bạc Liêu năm 2020 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề thi chuyên thường có độ khó cao hơn, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải toán tốt. Các bài toán trong đề thi chuyên thường mang tính chất tổng hợp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức khác nhau để giải quyết. Ví dụ, một bài toán có thể kết hợp kiến thức về đại số và hình học để tìm ra lời giải.
Đề thi không chuyên thường có độ khó vừa phải, tập trung vào các kiến thức cơ bản và các kỹ năng giải toán thường gặp. Các bài toán trong đề thi không chuyên thường có tính ứng dụng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế.
Để giải một phương trình bậc hai, bạn có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp phân tích thành nhân tử. Nếu phương trình có nghiệm, bạn cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo rằng nghiệm đó thỏa mãn điều kiện của phương trình.
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, bạn có thể sử dụng các tiêu chuẩn đồng dạng như: góc - góc - góc (AAA), cạnh - cạnh - cạnh (CCC), hoặc cạnh - góc - cạnh (CGC). Sau khi chứng minh hai tam giác đồng dạng, bạn có thể sử dụng các tính chất của tam giác đồng dạng để giải quyết các bài toán liên quan.
Để giải các bài toán về đường tròn, bạn cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và các công thức liên quan đến đường tròn. Ví dụ, bạn cần biết về bán kính, đường kính, dây cung, tiếp tuyến, và các góc liên quan đến đường tròn.
Đề thi vào 10 môn Toán Bạc Liêu năm 2020 là một tài liệu ôn thi hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn đọc những thông tin hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt nhất!
