Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2021 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này bao gồm các đề thi chính thức của các trường THPT chuyên và không chuyên trên địa bàn tỉnh Quảng Ninh, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của Giaitoan.edu.vn.
Câu 1 (2,0 điểm): a) Thực hiện phép tính:
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Thực hiện phép tính: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} .\)
b) Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
c) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right..\)
Bài 2 (2,0 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình với \(m = - 2\).
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\).
Câu 3 (2 điểm):
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Lớp 9B có 42 học sinh. Vừa qua lớp đã phát động phong trào tặng sách cho các bạn đang cách ly vì dịch bệnh Covid-19. Tại buổi phát động, mỗi học sinh trong lớp đều tặng 3 quyển sách hoặc 5 quyển sách. Kết quả cả lớp tặng được 146 quyển sách. Hỏi lớp 9B có bao nhiêu bạn tặng 3 quyển sách và bao nhiêu bạn tặng 5 quyển sách?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MA\) với đường tròn \(\left( O \right)\)(\(A\) là tiếp điểm). Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\)(\(C\) khác \(A\)). Đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(B\)(\(B\) khác \(C\)). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(MAHO\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\).
c) Chứng minh \(\angle BAH = {90^0}\).
d) Vẽ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh hai tam giác \(ACH\) và \(DMO\)đồng dạng.
Câu 5 (0,5 điểm):
Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \dfrac{{\left( {{a^2} + 2b + 3} \right)\left( {{b^2} + 2a + 3} \right)}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}}\)
Câu 1:
Phương pháp:
a) Khai phương biểu thức trong căn để tính giá trị của biểu thức
b) Quy đồng các phân thức đại số, cộng các phân thức đại số để rút gọn biểu thức
c) Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm \(y\), sau đó thay vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm nghiệm \(x\) và kết luận
Cách giải:
a) Ta có: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} = 2\sqrt {{4^2}} - \sqrt {{5^2}} \)\( = 2.4 - 5 = 3.\)
b) Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 4}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }} = 2.\end{array}\)
Vậy \(A = 2.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 7 - 3y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - 3.2\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(S = \left\{ {\left( {1;\,\,2} \right)} \right\}.\)
Câu 2:
Phương pháp:
a) Thay \(m = - 2\) vào phương trình, sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn hoặc đưa phương trình về phương trình tích để giải tìm nghiệm.
b) Tính \(\Delta \) (hoặc \(\Delta '\)), phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\)), theo hệ thức vi – ét xác định tổng và tích của hai nghiệm của phương trình; biến đổi \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\), khi tìm được \(m\) chú ý kiểm tra lại điều kiện.
Cách giải:
a) Với \(m = - 2\) phương trình trở thành: \({x^2} - 2x - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)}}{1} = 4\), phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt 4 }}{1} = 3,\,\,\,{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 4 }}{1} = - 1\)
Vậy với \(m = - 2\), phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).
b) Xét phương trình: \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \left( {m - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - m + 1 > 2 \Leftrightarrow m < 2.\)
Với \(m < 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {2^2} - 5\left( {m - 1} \right) = 2{m^2} + m - 3\,\,\,\,\left( {do\,\,m < 2 \Rightarrow \left| {m - 3} \right| = 3 - m} \right)\\ \Leftrightarrow 4 - 5m + 5 = 2{m^2} + 3 - m\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m \in \left\{ { - 3;1} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
Phương pháp:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right)\), số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right)\), sau đó lập hệ phương trình để tìm ra \(x\) và \(y\)
Cách giải:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right).\)
số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right).\)
Tổng số bạn học sinh của lớp 9B là 42 bạn nên ta có: \(x + y = 42\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Số sách mà \(x\) học sinh tặng được là: \(3x\) (quyển).
Số sách mà \(y\) học sinh tặng được là: \(5y\) (quyển).
Tổng số sách lớp 9B tặng được là 146 quyển nên ta có phương trình:\(3x + 5y = 146\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 42\\3x + 5y = 146\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 126\\3x + 5y = 146\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 20\\x = 42 - y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 42 - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\,\,\left( {tm} \right)\\y = 10\,\,\,\end{array} \right.\)
Vậy lớp 9B có 32 học sinh tặng 3 quyển sách và 10 học sinh tặng 10 quyển sách.
Câu 4:
Phương pháp:
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau
b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\) để suy ra hệ thức của đề bài
c) Chứng minh \(\angle MAO = \angle MAB + \angle BAO = {90^0}\) để suy ra \(\angle BAH = {90^0}\)
d) Chứng minh \(\angle AHC = \angle DOM\) và \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)
Cách giải:
a) Ta có: \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC \Rightarrow \angle OHB = {90^0}\) hay \(\angle OHM = {90^0}\)
Tứ giác \(MAHO\) có \(\angle MAO = \angle OHM = {90^0}\)
Suy ra tứ giác \(MAHO\) nội tiếp (hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau).
b) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) ta có:
\(\angle AMB\,\,\,chung\)
\(\angle MAB = \angle MCA\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (đpcm).
c) Ta có: \(\angle OAH = \angle CMO\) (do tứ giác \(MAHO\) nội tiếp)
Lại có: \(\angle ACM = \angle CMO\) (hai góc so le trong)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle ACM\,\,\,\left( { = \angle CMO} \right)\)
Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle MAB = \angle ACM\) (cmt)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle MAB\,\,\left( { = \angle ACM} \right).\)
Lại có: \(\angle MAB + \angle BAO = \angle MAO = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle BAO + \angle HAO = \angle BAH = {90^0}\) (đpcm).
d) Ta có: tứ giác \(AMOH\) nội tiếp nên \(\angle AHM = \angle AOM\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHM + \angle AHC = {180^0}\\\angle HOM + \angle DOM = {180^0}\end{array} \right.\)( hai góc kề bù)
Từ đó suy ra: \(\angle AHC = \angle DOM\)\(\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AOM\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAH = \angle MAO = {90^0}\\\angle AHB = \angle AOM\end{array} \right.\)
Suy ra \(\Delta AHB \sim \Delta AOM\)\(\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{OA}} = \dfrac{{HB}}{{OM}}\) (hai cạnh tương ứng)
Tam giác \(OBC\) có \(OB = OC\) nên tam giác \(OBC\) cân tại \(O\), có \(OH \bot BC\)
Nên \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC\)
Hay \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)\(\left( 2 \right)\) do \(\left( {OA = OD,\,\,HB = HC} \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(\Delta ACH \sim \Delta DMO\,\,\left( {c.g.c} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Câu 5:
Phương pháp:
Biến đổi tử số và mẫu số sao cho có nhân tử \({\left( {a + b + 1} \right)^2}\), sau đó rút gọn để tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức \(P\)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + 2b + 3 = {a^2} + 1 + 2b + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\\{b^2} + 2a + 3 = {b^2} + 1 + 2a + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}} = \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1}}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Rightarrow 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1 \le {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1\).
Vậy \({P_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\).
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Thực hiện phép tính: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} .\)
b) Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
c) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right..\)
Bài 2 (2,0 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình với \(m = - 2\).
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\).
Câu 3 (2 điểm):
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Lớp 9B có 42 học sinh. Vừa qua lớp đã phát động phong trào tặng sách cho các bạn đang cách ly vì dịch bệnh Covid-19. Tại buổi phát động, mỗi học sinh trong lớp đều tặng 3 quyển sách hoặc 5 quyển sách. Kết quả cả lớp tặng được 146 quyển sách. Hỏi lớp 9B có bao nhiêu bạn tặng 3 quyển sách và bao nhiêu bạn tặng 5 quyển sách?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MA\) với đường tròn \(\left( O \right)\)(\(A\) là tiếp điểm). Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\)(\(C\) khác \(A\)). Đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(B\)(\(B\) khác \(C\)). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(MAHO\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\).
c) Chứng minh \(\angle BAH = {90^0}\).
d) Vẽ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh hai tam giác \(ACH\) và \(DMO\)đồng dạng.
Câu 5 (0,5 điểm):
Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \dfrac{{\left( {{a^2} + 2b + 3} \right)\left( {{b^2} + 2a + 3} \right)}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}}\)
Câu 1:
Phương pháp:
a) Khai phương biểu thức trong căn để tính giá trị của biểu thức
b) Quy đồng các phân thức đại số, cộng các phân thức đại số để rút gọn biểu thức
c) Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm \(y\), sau đó thay vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm nghiệm \(x\) và kết luận
Cách giải:
a) Ta có: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} = 2\sqrt {{4^2}} - \sqrt {{5^2}} \)\( = 2.4 - 5 = 3.\)
b) Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 4}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }} = 2.\end{array}\)
Vậy \(A = 2.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 7 - 3y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - 3.2\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(S = \left\{ {\left( {1;\,\,2} \right)} \right\}.\)
Câu 2:
Phương pháp:
a) Thay \(m = - 2\) vào phương trình, sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn hoặc đưa phương trình về phương trình tích để giải tìm nghiệm.
b) Tính \(\Delta \) (hoặc \(\Delta '\)), phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\)), theo hệ thức vi – ét xác định tổng và tích của hai nghiệm của phương trình; biến đổi \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\), khi tìm được \(m\) chú ý kiểm tra lại điều kiện.
Cách giải:
a) Với \(m = - 2\) phương trình trở thành: \({x^2} - 2x - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)}}{1} = 4\), phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt 4 }}{1} = 3,\,\,\,{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 4 }}{1} = - 1\)
Vậy với \(m = - 2\), phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).
b) Xét phương trình: \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \left( {m - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - m + 1 > 2 \Leftrightarrow m < 2.\)
Với \(m < 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {2^2} - 5\left( {m - 1} \right) = 2{m^2} + m - 3\,\,\,\,\left( {do\,\,m < 2 \Rightarrow \left| {m - 3} \right| = 3 - m} \right)\\ \Leftrightarrow 4 - 5m + 5 = 2{m^2} + 3 - m\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m \in \left\{ { - 3;1} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
Phương pháp:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right)\), số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right)\), sau đó lập hệ phương trình để tìm ra \(x\) và \(y\)
Cách giải:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right).\)
số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right).\)
Tổng số bạn học sinh của lớp 9B là 42 bạn nên ta có: \(x + y = 42\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Số sách mà \(x\) học sinh tặng được là: \(3x\) (quyển).
Số sách mà \(y\) học sinh tặng được là: \(5y\) (quyển).
Tổng số sách lớp 9B tặng được là 146 quyển nên ta có phương trình:\(3x + 5y = 146\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 42\\3x + 5y = 146\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 126\\3x + 5y = 146\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 20\\x = 42 - y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 42 - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\,\,\left( {tm} \right)\\y = 10\,\,\,\end{array} \right.\)
Vậy lớp 9B có 32 học sinh tặng 3 quyển sách và 10 học sinh tặng 10 quyển sách.
Câu 4:
Phương pháp:
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau
b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\) để suy ra hệ thức của đề bài
c) Chứng minh \(\angle MAO = \angle MAB + \angle BAO = {90^0}\) để suy ra \(\angle BAH = {90^0}\)
d) Chứng minh \(\angle AHC = \angle DOM\) và \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)
Cách giải:
a) Ta có: \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC \Rightarrow \angle OHB = {90^0}\) hay \(\angle OHM = {90^0}\)
Tứ giác \(MAHO\) có \(\angle MAO = \angle OHM = {90^0}\)
Suy ra tứ giác \(MAHO\) nội tiếp (hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau).
b) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) ta có:
\(\angle AMB\,\,\,chung\)
\(\angle MAB = \angle MCA\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (đpcm).
c) Ta có: \(\angle OAH = \angle CMO\) (do tứ giác \(MAHO\) nội tiếp)
Lại có: \(\angle ACM = \angle CMO\) (hai góc so le trong)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle ACM\,\,\,\left( { = \angle CMO} \right)\)
Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle MAB = \angle ACM\) (cmt)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle MAB\,\,\left( { = \angle ACM} \right).\)
Lại có: \(\angle MAB + \angle BAO = \angle MAO = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle BAO + \angle HAO = \angle BAH = {90^0}\) (đpcm).
d) Ta có: tứ giác \(AMOH\) nội tiếp nên \(\angle AHM = \angle AOM\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHM + \angle AHC = {180^0}\\\angle HOM + \angle DOM = {180^0}\end{array} \right.\)( hai góc kề bù)
Từ đó suy ra: \(\angle AHC = \angle DOM\)\(\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AOM\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAH = \angle MAO = {90^0}\\\angle AHB = \angle AOM\end{array} \right.\)
Suy ra \(\Delta AHB \sim \Delta AOM\)\(\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{OA}} = \dfrac{{HB}}{{OM}}\) (hai cạnh tương ứng)
Tam giác \(OBC\) có \(OB = OC\) nên tam giác \(OBC\) cân tại \(O\), có \(OH \bot BC\)
Nên \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC\)
Hay \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)\(\left( 2 \right)\) do \(\left( {OA = OD,\,\,HB = HC} \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(\Delta ACH \sim \Delta DMO\,\,\left( {c.g.c} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Câu 5:
Phương pháp:
Biến đổi tử số và mẫu số sao cho có nhân tử \({\left( {a + b + 1} \right)^2}\), sau đó rút gọn để tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức \(P\)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + 2b + 3 = {a^2} + 1 + 2b + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\\{b^2} + 2a + 3 = {b^2} + 1 + 2a + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}} = \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1}}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Rightarrow 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1 \le {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1\).
Vậy \({P_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập thuộc nhiều chủ đề khác nhau, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Dưới đây là phân tích chi tiết về cấu trúc đề thi và các chủ đề thường xuất hiện:
Đề thi thường được chia thành các phần sau:
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021, các em học sinh cần có một kế hoạch ôn tập khoa học và hiệu quả. Dưới đây là một số lời khuyên:
Giaitoan.edu.vn là một nền tảng học toán online uy tín và chất lượng, cung cấp cho các em học sinh các tài liệu ôn thi, bài giảng, bài tập và các khóa học luyện thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021. Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm và phương pháp giảng dạy hiện đại, Giaitoan.edu.vn sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
| Tên tài liệu/khóa học | Mô tả |
|---|---|
| Bộ đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh 2021 | Tuyển tập các đề thi chính thức của các trường THPT chuyên và không chuyên trên địa bàn tỉnh Quảng Ninh. |
| Khóa học luyện thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh 2021 | Khóa học được thiết kế theo chương trình học của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tập trung vào các kiến thức và kỹ năng cần thiết để làm bài thi tốt nhất. |
| Bài giảng và bài tập ôn tập | Các bài giảng và bài tập được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. |
Hãy truy cập Giaitoan.edu.vn ngay hôm nay để khám phá các tài liệu và khóa học luyện thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021 và bắt đầu hành trình chinh phục kỳ thi!
