Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Trị năm 2019 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này bao gồm đề thi chính thức và đáp án chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của Giaitoan.edu.vn. Chúng tôi hy vọng sẽ giúp các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
Câu 1 (2,0 điểm): Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:
Câu 1 (2,0 điểm):
Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:
\(A = \sqrt {18} - \sqrt {50} \)
\(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0,\,a \ne 4\)
Câu 2 (2,5 điểm): Cho hàm số \(y = - {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\).
a) Vẽ \(\left( P \right)\)
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\).
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\): \(y = 2x + m\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{2}{5}\).
Câu 3 (1,5 điểm): Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là \(58m\) và diện tích là \(190{m^2}\) . Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.
Câu 4 (3 điểm): Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ đến \(\left( O \right)\) các tiếp tuyến \(MP,MQ\) và cát tuyến \(MAB\) không đi qua tâm (\(A,B,P,Q\) thuộc \(\left( O \right)\)). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB,\) \(E\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB.\)
a) Chứng minh \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác \(MPE\) và \(MIP\) đồng dạng với nhau.
c) Giả sử \(PB = a\) và \(A\) là trung điểm của \(MB.\) Tính \(PA\) theo \(a.\)
Câu 5 (1 điểm): Giải phương trình \(\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} = 4{x^2} - 20x + 27\)
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
\(A = \sqrt {18} - \sqrt {50} = \sqrt {9.2} - \sqrt {25.2} = 3\sqrt 2 - 5\sqrt 2 = - 2\sqrt 2 \)
Với \(a > 0,\,\,a \ne 4\) ta có:
\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 2}}{{a - 4}} + \dfrac{{\sqrt a - 2}}{{a - 4}}} \right).\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt a }}{{a - 4}}.\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = 2.\end{array}\)
Vậy \(A = - 2\sqrt 2 \) và \(B = 2\).
Câu 2 (VD):
Phương pháp:
a) Tìm các điểm đi qua của Parabol và vẽ đồ thị hàm số.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, giải phương trình tìm \(x\) và suy ra \(y\). Từ đó kết luận giao điểm.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\) và \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.
Biến đổi điều kiện bài cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi áp dụng Vi – et tìm \(m\).
Kiểm tra điều kiện của \(m\) và kết luận.
Cách giải:
a) Vẽ \(\left( P \right)\)
Cho \(x\) nhận các giá trị \( - 2; - 1;0;1;2\) ta có bảng sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y\) | \( - 4\) | \( - 1\) | \(0\) | \( - 1\) | \( - 4\) |
Do đó đồ thị hàm số đi qua các điểm \(A\left( { - 2; - 4} \right),B\left( { - 1; - 1} \right),O\left( {0;0} \right),C\left( {1; - 1} \right),D\left( {2; - 4} \right)\).
Đồ thị:
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\):
\( - {x^2} = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\)
Với \(x = 1\) thì \(y = - 1\) nên \(E\left( {1; - 1} \right)\)
Với \(x = - 3\) thì \(y = - 9\) nên \(F\left( { - 3; - 9} \right)\)
Vậy giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) lần lượt là \(E\left( {1; - 1} \right)\) và \(F\left( { - 3; - 9} \right)\).
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\): \(y = 2x + m\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{2}{5}\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là:
\( - {x^2} = 2x + m \Leftrightarrow {x^2} + 2x + m = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Để \(\left( P \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1\).
Từ yêu cầu bài toán ta suy ra \({x_1},{x_2} \ne 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) không nhận \(x = 0\) làm nghiệm hay\({0^2} + 2.0 + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).
Theo hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{2}{5}\\ \Rightarrow 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2{x_1}{x_2}\\ \Rightarrow 5.\left( { - 2} \right) = 2.m \Leftrightarrow m = - 5\left( {TM} \right)\end{array}\)
Vậy \(m = - 5\) là giá trị cần tìm.
Câu 3 (VD):
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là \(x\,\left( m \right)\);
chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là \(y\left( m \right)\).
Điều kiện: \(y > x > 0\).
Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là : \(58:2 = 29\left( m \right)\) nên \(x + y = 29\).
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là \(190{m^2}\) nên: \(x.y = 190\).
Theo bài ra ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 29\\xy = 190\end{array} \right.\)
Khi đó \(x,y\) là nghiệm của phương trình:
\({X^2} - 29X + 190 = 0 \Leftrightarrow \left( {X - 19} \right)\left( {X - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 19\,\,\,(tm)\\X = 10\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\)
Vì \(x < y\) nên : \(x = 10;\,y = 19\)
Vậy chiều rộng mảnh đất là \(10m;\) chiều dài mảnh đất là \(19m\) .
Câu 4 (VD):
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc
c) Chứng minh hai tam giác \(MAP\) và \(MPB\) đồng dạng từ đó suy ra tỉ lệ cạnh và tính \(PA.\)
Cách giải:
a) Chứng minh \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp
Vì \(MP,MQ\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(MP \bot OP;\,MQ \bot OQ \Rightarrow \angle MPO = 90^\circ ;\,\angle MQO = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(MPOQ\) có \(\angle MPO + \angle MQO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác \(MPE\) và \(MIP\) đồng dạng với nhau.
Xét \(\left( O \right)\) có \(AB\) là dây và \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(OI \bot AB\) tại \(I\) (quan hệ giữa đường kính và dây)
Ta có \(\angle MPO = 90^\circ ;\,\angle MQO = 90^\circ ;\,\angle MIO = 90^\circ \) nên 5 điểm \(M;P;Q;I;O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO.\)
Suy ra \(\angle MIP = \angle MPQ\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MP\)) (1)
Ta lại có \(MP = MQ\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\Delta MPQ\) cân tại \(M \Rightarrow \angle MPQ = \angle MQP\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MIP = \angle MPE\)
Xét \(\Delta MPE\) và \(\Delta MIP\) có \(\angle PMI\) chung và \(\angle MIP = \angle MPE\) (cmt) nên \(\Delta MPE \sim \Delta MIP\left( {g - g} \right)\)
c) Giả sử \(PB = a\) và \(A\) là trung điểm của \(MB.\) Tính \(PA\) theo \(a.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle MPA = \angle MBP\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AP\))
Xét \(\Delta MPA\) và \(\Delta MBP\) có \(\angle PMB\) chung và \(\angle MPA = \angle MBP\) (cmt)
Suy ra \(\dfrac{{MA}}{{MP}} = \dfrac{{MP}}{{MB}} = \dfrac{{AP}}{{PB}}\)
\( \Rightarrow M{P^2} = MA.MB\) mà \(A\) là trung điểm của \(MB\) nên \(MB = 2MA\)
Do đó, \(M{P^2} = MA.2MA \Leftrightarrow M{P^2} = 2M{A^2} \Leftrightarrow MP = \sqrt 2 MA \Leftrightarrow \dfrac{{MA}}{{MP}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Suy ra \(\dfrac{{AP}}{{PB}} = \dfrac{{MA}}{{MP}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow AP = \dfrac{{PB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy \(AP = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 5 (VDC):
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ.
- Đặt ẩn phụ \(\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} = t\) và tìm điều kiện.
- Đưa phương trình về phương trình ẩn \(t\).
- Giải phương trình ẩn \(t\) tìm \(t\) và suy ra \(x\).
Cách giải:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ge 0\\6 - 2x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)
Đặt \(\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}{t^2} = {\left( {\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} } \right)^2}\\ = 2x - 4 + 6 - 2x + 2\sqrt {\left( {2x - 4} \right)\left( {6 - 2x} \right)} \\ = 2 + 2\sqrt { - 4{x^2} + 20x - 24} \\ \Rightarrow \sqrt { - 4{x^2} + 20x - 24} = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}.\end{array}\)
Điều kiện: \(\dfrac{{{t^2} - 2}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge \sqrt 2 \\t \le - \sqrt 2 \end{array} \right.\), kết hợp \(t \ge 0\) ta được \(t \ge \sqrt 2 \).
Khi đó \( - 4{x^2} + 20x - 24 = {\left( {\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 24 = - \dfrac{{{t^4} - 4{t^2} + 4}}{4}\)
Thay vào phương trình đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}t = - \dfrac{{{t^4} - 4{t^2} + 4}}{4} + 3 \Leftrightarrow 4t = - {t^4} + 4{t^2} - 4 + 12 \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^2} + 4t - 8 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {{t^2} - 4} \right) + 4\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2}\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right) + 4\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left[ {{t^2}\left( {t + 2} \right) + 4} \right] = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow t - 2 = 0\) (do \(t \ge \sqrt 2 \) nên \({t^2}\left( {t + 2} \right) + 4 > 0,\forall t\))
\( \Leftrightarrow t = 2\left( {TM} \right)\)
Suy ra \(4{x^2} - 20x + 24 = - 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{5}{2}\).
Câu 1 (2,0 điểm):
Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:
\(A = \sqrt {18} - \sqrt {50} \)
\(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0,\,a \ne 4\)
Câu 2 (2,5 điểm): Cho hàm số \(y = - {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\).
a) Vẽ \(\left( P \right)\)
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\).
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\): \(y = 2x + m\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{2}{5}\).
Câu 3 (1,5 điểm): Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là \(58m\) và diện tích là \(190{m^2}\) . Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.
Câu 4 (3 điểm): Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ đến \(\left( O \right)\) các tiếp tuyến \(MP,MQ\) và cát tuyến \(MAB\) không đi qua tâm (\(A,B,P,Q\) thuộc \(\left( O \right)\)). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB,\) \(E\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB.\)
a) Chứng minh \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác \(MPE\) và \(MIP\) đồng dạng với nhau.
c) Giả sử \(PB = a\) và \(A\) là trung điểm của \(MB.\) Tính \(PA\) theo \(a.\)
Câu 5 (1 điểm): Giải phương trình \(\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} = 4{x^2} - 20x + 27\)
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
\(A = \sqrt {18} - \sqrt {50} = \sqrt {9.2} - \sqrt {25.2} = 3\sqrt 2 - 5\sqrt 2 = - 2\sqrt 2 \)
Với \(a > 0,\,\,a \ne 4\) ta có:
\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 2}}{{a - 4}} + \dfrac{{\sqrt a - 2}}{{a - 4}}} \right).\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt a }}{{a - 4}}.\dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = 2.\end{array}\)
Vậy \(A = - 2\sqrt 2 \) và \(B = 2\).
Câu 2 (VD):
Phương pháp:
a) Tìm các điểm đi qua của Parabol và vẽ đồ thị hàm số.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, giải phương trình tìm \(x\) và suy ra \(y\). Từ đó kết luận giao điểm.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\) và \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.
Biến đổi điều kiện bài cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi áp dụng Vi – et tìm \(m\).
Kiểm tra điều kiện của \(m\) và kết luận.
Cách giải:
a) Vẽ \(\left( P \right)\)
Cho \(x\) nhận các giá trị \( - 2; - 1;0;1;2\) ta có bảng sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y\) | \( - 4\) | \( - 1\) | \(0\) | \( - 1\) | \( - 4\) |
Do đó đồ thị hàm số đi qua các điểm \(A\left( { - 2; - 4} \right),B\left( { - 1; - 1} \right),O\left( {0;0} \right),C\left( {1; - 1} \right),D\left( {2; - 4} \right)\).
Đồ thị:
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\):
\( - {x^2} = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\)
Với \(x = 1\) thì \(y = - 1\) nên \(E\left( {1; - 1} \right)\)
Với \(x = - 3\) thì \(y = - 9\) nên \(F\left( { - 3; - 9} \right)\)
Vậy giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) lần lượt là \(E\left( {1; - 1} \right)\) và \(F\left( { - 3; - 9} \right)\).
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\): \(y = 2x + m\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{2}{5}\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là:
\( - {x^2} = 2x + m \Leftrightarrow {x^2} + 2x + m = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Để \(\left( P \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1\).
Từ yêu cầu bài toán ta suy ra \({x_1},{x_2} \ne 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) không nhận \(x = 0\) làm nghiệm hay\({0^2} + 2.0 + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).
Theo hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{2}{5}\\ \Rightarrow 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2{x_1}{x_2}\\ \Rightarrow 5.\left( { - 2} \right) = 2.m \Leftrightarrow m = - 5\left( {TM} \right)\end{array}\)
Vậy \(m = - 5\) là giá trị cần tìm.
Câu 3 (VD):
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là \(x\,\left( m \right)\);
chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là \(y\left( m \right)\).
Điều kiện: \(y > x > 0\).
Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là : \(58:2 = 29\left( m \right)\) nên \(x + y = 29\).
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là \(190{m^2}\) nên: \(x.y = 190\).
Theo bài ra ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 29\\xy = 190\end{array} \right.\)
Khi đó \(x,y\) là nghiệm của phương trình:
\({X^2} - 29X + 190 = 0 \Leftrightarrow \left( {X - 19} \right)\left( {X - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 19\,\,\,(tm)\\X = 10\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\)
Vì \(x < y\) nên : \(x = 10;\,y = 19\)
Vậy chiều rộng mảnh đất là \(10m;\) chiều dài mảnh đất là \(19m\) .
Câu 4 (VD):
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc
c) Chứng minh hai tam giác \(MAP\) và \(MPB\) đồng dạng từ đó suy ra tỉ lệ cạnh và tính \(PA.\)
Cách giải:
a) Chứng minh \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp
Vì \(MP,MQ\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(MP \bot OP;\,MQ \bot OQ \Rightarrow \angle MPO = 90^\circ ;\,\angle MQO = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(MPOQ\) có \(\angle MPO + \angle MQO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác \(MPE\) và \(MIP\) đồng dạng với nhau.
Xét \(\left( O \right)\) có \(AB\) là dây và \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(OI \bot AB\) tại \(I\) (quan hệ giữa đường kính và dây)
Ta có \(\angle MPO = 90^\circ ;\,\angle MQO = 90^\circ ;\,\angle MIO = 90^\circ \) nên 5 điểm \(M;P;Q;I;O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO.\)
Suy ra \(\angle MIP = \angle MPQ\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MP\)) (1)
Ta lại có \(MP = MQ\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\Delta MPQ\) cân tại \(M \Rightarrow \angle MPQ = \angle MQP\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MIP = \angle MPE\)
Xét \(\Delta MPE\) và \(\Delta MIP\) có \(\angle PMI\) chung và \(\angle MIP = \angle MPE\) (cmt) nên \(\Delta MPE \sim \Delta MIP\left( {g - g} \right)\)
c) Giả sử \(PB = a\) và \(A\) là trung điểm của \(MB.\) Tính \(PA\) theo \(a.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle MPA = \angle MBP\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AP\))
Xét \(\Delta MPA\) và \(\Delta MBP\) có \(\angle PMB\) chung và \(\angle MPA = \angle MBP\) (cmt)
Suy ra \(\dfrac{{MA}}{{MP}} = \dfrac{{MP}}{{MB}} = \dfrac{{AP}}{{PB}}\)
\( \Rightarrow M{P^2} = MA.MB\) mà \(A\) là trung điểm của \(MB\) nên \(MB = 2MA\)
Do đó, \(M{P^2} = MA.2MA \Leftrightarrow M{P^2} = 2M{A^2} \Leftrightarrow MP = \sqrt 2 MA \Leftrightarrow \dfrac{{MA}}{{MP}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Suy ra \(\dfrac{{AP}}{{PB}} = \dfrac{{MA}}{{MP}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow AP = \dfrac{{PB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy \(AP = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 5 (VDC):
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ.
- Đặt ẩn phụ \(\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} = t\) và tìm điều kiện.
- Đưa phương trình về phương trình ẩn \(t\).
- Giải phương trình ẩn \(t\) tìm \(t\) và suy ra \(x\).
Cách giải:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ge 0\\6 - 2x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)
Đặt \(\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}{t^2} = {\left( {\sqrt {2x - 4} + \sqrt {6 - 2x} } \right)^2}\\ = 2x - 4 + 6 - 2x + 2\sqrt {\left( {2x - 4} \right)\left( {6 - 2x} \right)} \\ = 2 + 2\sqrt { - 4{x^2} + 20x - 24} \\ \Rightarrow \sqrt { - 4{x^2} + 20x - 24} = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}.\end{array}\)
Điều kiện: \(\dfrac{{{t^2} - 2}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge \sqrt 2 \\t \le - \sqrt 2 \end{array} \right.\), kết hợp \(t \ge 0\) ta được \(t \ge \sqrt 2 \).
Khi đó \( - 4{x^2} + 20x - 24 = {\left( {\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 24 = - \dfrac{{{t^4} - 4{t^2} + 4}}{4}\)
Thay vào phương trình đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}t = - \dfrac{{{t^4} - 4{t^2} + 4}}{4} + 3 \Leftrightarrow 4t = - {t^4} + 4{t^2} - 4 + 12 \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^2} + 4t - 8 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {{t^2} - 4} \right) + 4\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2}\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right) + 4\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left[ {{t^2}\left( {t + 2} \right) + 4} \right] = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow t - 2 = 0\) (do \(t \ge \sqrt 2 \) nên \({t^2}\left( {t + 2} \right) + 4 > 0,\forall t\))
\( \Leftrightarrow t = 2\left( {TM} \right)\)
Suy ra \(4{x^2} - 20x + 24 = - 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{5}{2}\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của mỗi học sinh. Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi này, việc nắm vững kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một phân tích chi tiết về Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Trị năm 2019, cùng với hướng dẫn giải các bài toán khó, giúp bạn tự tin hơn khi bước vào phòng thi.
Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán Quảng Trị năm 2019 có cấu trúc tương đối ổn định so với các năm trước. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Độ khó của đề thi thường ở mức trung bình, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản và có kỹ năng giải toán tốt.
Chúng ta sẽ cùng phân tích một số câu hỏi tiêu biểu trong Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Trị năm 2019 để hiểu rõ hơn về cấu trúc và độ khó của đề thi.
Phương trình thường xuất hiện trong đề thi là phương trình bậc nhất, bậc hai hoặc phương trình chứa căn thức. Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các phương pháp giải phương trình đã học, như phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp phân tích thành nhân tử, hoặc phương pháp sử dụng công thức nghiệm.
Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học thường yêu cầu học sinh phải vận dụng các định lý và tính chất hình học đã học, như định lý Pitago, định lý Thales, hoặc tính chất của các đường trung bình trong tam giác. Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần vẽ hình chính xác và trình bày lời giải một cách logic và chặt chẽ.
Các bài toán về số học thường yêu cầu học sinh phải vận dụng các kiến thức về số nguyên tố, chia hết, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất. Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của các khái niệm này, và có kỹ năng phân tích và suy luận logic.
Một số bài toán trong Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Trị năm 2019 có thể gây khó khăn cho học sinh. Dưới đây là một số hướng dẫn giải các bài toán khó này:
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán, bạn nên:
Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Trị năm 2019 là một tài liệu ôn thi vô cùng hữu ích. Hy vọng rằng, với những phân tích và hướng dẫn giải trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi bước vào kỳ thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc bạn thành công!