Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Sơn La năm 2020 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới.
Đề thi được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo độ chính xác và tính cập nhật cao. Bên cạnh đề thi, chúng tôi còn cung cấp đáp án chi tiết và lời giải bài tập, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và tự đánh giá năng lực của mình.
Câu 1: Cho biểu thức:
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của mỗi học sinh. Để đạt kết quả tốt nhất, việc chuẩn bị kỹ lưỡng là vô cùng cần thiết. Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 là một nguồn tài liệu quý giá, giúp học sinh làm quen với dạng đề và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Chúng ta sẽ cùng phân tích một số câu hỏi điển hình trong đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 để hiểu rõ hơn về yêu cầu của đề thi.
Phương trình thường xuất hiện trong đề thi là phương trình bậc hai, phương trình bậc ba, hoặc phương trình chứa căn thức. Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về phương pháp giải phương trình và các kỹ năng biến đổi đại số.
Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các định lý hình học, các tính chất của hình học, và các kỹ năng chứng minh hình học.
Các bài toán tính xác suất đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ khái niệm xác suất, các công thức tính xác suất, và các kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế.
Ngoài đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn thi sau:
Giaitoan.edu.vn là một website học toán online uy tín, cung cấp các khóa học toán chất lượng cao, các bài giảng chi tiết, và các bài tập luyện tập đa dạng. Chúng tôi hy vọng sẽ là người bạn đồng hành đáng tin cậy của bạn trên con đường chinh phục kiến thức.
| Dạng bài tập | Mức độ khó | Ví dụ |
|---|---|---|
| Phương trình bậc hai | Trung bình | Giải phương trình: x2 - 5x + 6 = 0 |
| Chứng minh tam giác đồng dạng | Khó | Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACB. |
| Tính xác suất | Trung bình | Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn. |
Chúc các em học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10!
