Giải bài 3.15 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài 3.15 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức: Phương pháp và Lời giải Chi tiết

Bài 3.15 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc khảo sát hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định hàm số: Đọc kỹ đề bài để xác định chính xác hàm số cần khảo sát.
2. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
3. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
4. Khảo sát tính đơn điệu: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất.
5. Tìm điểm uốn: Giải phương trình đạo hàm bậc hai bằng 0 để tìm các điểm uốn của hàm số.
6. Khảo sát tính lồi lõm: Xác định khoảng lồi và lõm của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm bậc hai.
7. Vẽ đồ thị hàm số: Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài 3.15 trang 79

Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể ở đây, ví dụ: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Khảo sát hàm số.)

Giải:

1. Tập xác định:

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 xác định trên tập số thực R.

2. Đạo hàm:

y' = 3x² - 6x

y'' = 6x - 6

3. Điểm cực trị:

Giải phương trình y' = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

=> x = 0 hoặc x = 2

Vậy hàm số có hai điểm cực trị: x₁ = 0 và x₂ = 2

4. Khảo sát tính đơn điệu:

• Với x < 0, y' > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0)
• Với 0 < x < 2, y' < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2)
• Với x > 2, y' > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞)

5. Điểm uốn:

Giải phương trình y'' = 0:

6x - 6 = 0

=> x = 1

Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1

6. Khảo sát tính lồi lõm:

• Với x < 1, y'' < 0 => Hàm số lõm trên (-∞, 1)
• Với x > 1, y'' > 0 => Hàm số lồi trên (1, +∞)

7. Kết luận:

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 có:

• Điểm cực đại tại x = 0, y_max = 2
• Điểm cực tiểu tại x = 2, y_min = -2
• Điểm uốn tại x = 1, y = 0

Đồ thị hàm số có dạng:

(Mô tả đồ thị hàm số, ví dụ: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0, 2), (1, 0), (2, -2). Hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2). Hàm số lõm trên (-∞, 1) và lồi trên (1, +∞).)

Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về khảo sát hàm số bằng đạo hàm, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp thêm nhiều bài tập và lời giải chi tiết để bạn có thể tự tin hơn trong quá trình học tập.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm không chỉ là một công cụ quan trọng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Ví dụ, đạo hàm có thể được sử dụng để tính vận tốc, gia tốc, tối ưu hóa lợi nhuận, phân tích sự thay đổi của các đại lượng,...