Giải bài 3.24 trang 81 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài 3.24 trang 81 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 3.24 trang 81 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải một bài toán liên quan đến việc tìm cực trị của hàm số. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và các bước giải bài toán cực trị.

1. Đề bài

Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

2. Phương pháp giải

Để tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm (x₁, x₂, ...).
3. Khảo sát dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để xác định các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm tọa độ các điểm cực trị.

3. Lời giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Khảo sát dấu của f'(x)

Ta xét các khoảng:

• Khoảng (-∞; 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
• Khoảng (0; 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
• Khoảng (2; +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Bước 4: Kết luận

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

• Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2. Vậy điểm cực đại là (0; 2).
• Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2. Vậy điểm cực tiểu là (2; -2).

4. Lưu ý khi giải bài toán cực trị

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.
• Chú ý đến các điểm mà đạo hàm không tồn tại (ví dụ: điểm góc, điểm nhọn).
• Sử dụng bảng xét dấu để xác định chính xác các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số.

5. Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

• Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x³ - 6x² + 9x + 1.
• Tìm các điểm cực trị của hàm số y = -x³ + 3x² - 2.

6. Kết luận

Bài 3.24 trang 81 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về việc tìm cực trị của hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải và các lưu ý quan trọng sẽ giúp bạn tự tin giải các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.