Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB).
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về hàm số bậc hai. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11, nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn ở các lớp trên. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Trang 15 tập trung vào việc xác định các hệ số a, b, c của hàm số bậc hai và xác định đồ thị hàm số. Các bài tập yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa hàm số bậc hai và hiểu rõ mối liên hệ giữa các hệ số và hình dạng của parabol.
Trang 16 đi sâu vào việc tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol. Học sinh cần thành thạo công thức tính tọa độ đỉnh và hiểu ý nghĩa của trục đối xứng trong việc xác định tính chất của hàm số.
Trang 17 tập trung vào việc vẽ đồ thị hàm số bậc hai và xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến. Học sinh cần kết hợp kiến thức về tọa độ đỉnh, trục đối xứng và bảng biến thiên để vẽ đồ thị chính xác.
Bài tập: Cho hàm số y = 2x2 - 4x + 1. Hãy tìm tọa độ đỉnh và vẽ đồ thị hàm số.
Giải:
Việc giải các bài tập trong mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng vận dụng linh hoạt. Hy vọng với bài giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
