Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống

Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống

Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống

Bài học về Ước chung và Ước chung lớn nhất (UCLN) là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 6, Kết nối tri thức (KNTT). Nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn ứng dụng vào nhiều tình huống thực tế.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với hệ thống bài tập đa dạng, giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả nhất.

Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu

ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

I. Ước chung

1. Định nghĩa

+ Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

2. Kí hiệu

+ ƯC\(\left( {a,b} \right)\)tập hợp các ước chung của \(a\)\(b\).

3. Cách tìm ước chung

a) Tìm ước chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

Ví dụ: Ư\(\left( 8 \right) = \left\{ {1;2;4;8} \right\}\); Ư\(\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\)

Nên ƯC\(\left( {8;12} \right) = \left\{ {1;2;4} \right\}\)

b) Tìm ước chung của ba số a, b và c

Bước 1: Viết tập hợp các ước của a, của b và của c: Ư(a), Ư(b), Ư(c)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a), Ư(b) và Ư(c).

Nhận xét:

+)\(x \in \)ƯC\(\left( {a,b} \right)\) nếu \(a \vdots x\)\(b \vdots x.\)

+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a,b,c} \right)\) nếu \(a \vdots x\) ; \(b \vdots x\) và \(c \vdots x.\)

Chú ý:

+ Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.

+ Kí hiệu: Giao của tập hợp A và tập hợp B là \(A \cap B\)

Ví dụ: Ư\(\left( 8 \right) \cap \) Ư\(\left( {12} \right) = \)ƯC\(\left( {8;12} \right)\).

II. Ước chung lớn nhất

1. Định nghĩa

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Nếu ước chung lớn nhất của hai số a và b bằng 1 thì ta nói, a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

2.Kí hiệu

+) ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\)ước chung lớn nhất của \(a\)\(b\).

+) ƯC\(\left( {a;b} \right)\)tập hợp còn ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\)một số.

3.Các cách tìm ước chung lớn nhất bằng định nghĩa

a) Cách tìm ƯCLN trong trường hợp đặc biệt

+) Trong các số cần tìm ƯCLN có số nhỏ nhấtước của những số còn lại thì số đó là ƯCLN cần tìm:

Nếu \(a \vdots b\) thì ƯCLN \(\left( {a,b} \right) = b\)

+) Số 1 chỉ có 1 ước là 1 nên với mọi số tự nhiên a và b ta có:

ƯCLN\(\left( {a,1} \right)\) =1 và ƯCLN\(\left( {a,b,1} \right)\)=1

b) Cách tìm ƯCLN của hai số a và b bằng định nghĩa

Bước 1. Tìm tập hợp các ước chung của hai số a và b: ƯC\(\left( {a;b} \right)\)

Bước 2. Tìm số lớn nhất trong các ước chung vừa tìm được: ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ : Tìm ƯCLN (18 , 30)

Ta có :

Ư(18)=\(\left\{ {1;2;3;6;9;18} \right\}\)

Ư(30)=\(\left\{ {1;2;3;5;6;10;15;30} \right\}\)

ƯC(18;30)={1;2;3;6}

Số lớn nhất trong các số 1, 2, 3, 6 là số 6.

Vậy ƯCLN (18, 30)=6

III. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số tự nhiên ra thừa số nguyên tố

1. Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ : Tìm ƯCLN (18 , 30)

Ta có :

Bước 1 : phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

18 = 2.32

30 = 2.3.5

Bước 2 : Thừa số nguyên tố chung là \(2\)\(3\)

Bước 3 : ƯCLN\(\left( {18,30} \right) = 2.3 = 6\)

Chú ý:

+ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

+ Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

2. Cách tìm ƯC thông qua ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ: ƯCLN\(\left( {18,30} \right) = 2.3 = 6\)

Từ đó ƯC\(\left( {18,30} \right) = \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;2;3;6} \right\}\)

IV. Ứng dụng trong rút gọn về số tối giản

Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

Phân số tối giản: \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản nếu ƯCLN\(\left( {a,b} \right) = 1\)

Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\).

Ví dụ: Phân số \(\dfrac{9}{{24}}\) tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Ta có: ƯCLN\(\left( {9,24} \right) = 3\) khác 1 nên \(\dfrac{9}{{24}}\) chưa tối giản.

Ta có: \(\dfrac{9}{{24}} = \dfrac{{9:3}}{{24:3}} = \dfrac{3}{8}\). Ta được \(\dfrac{3}{8}\) là phân số tối giản.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

I. Nhận biết và viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số

Phương pháp:

Để nhận biết một số là ước chung của hai số, ta kiểm tra xem hai số đó có chia hết cho số này hay không.

Để viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các ước của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.

II. Bài toán đưa về việc tìm ước chung, ƯCLN của hai hay nhiều số

Phương pháp:

 Phân tích bài toán để đưa về việc tìm ước chung, ƯCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ:

Một bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ hai tấm gỗ dài 18 dm và 30 dm. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này thành các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào. Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của mỗi thanh gỗ được cắt.

Giải

Độ dài lớn nhất các thanh gỗ được cắt chính là ƯCLN của 18 và 30.

Ta có: ƯCLN(18; 30)= 6

Vậy độ dài lớn nhất có thể của các thanh gỗ được cắt là 6 dm.

III. Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

+ Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.

+ Tìm các ước của ƯCLN.

+ Chọn trong số đó các ước hoặc các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.

Tự tin bứt phá năm học lớp 6 ngay từ đầu! Khám phá Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống – nội dung then chốt trong chuyên mục giải toán lớp 6 trên nền tảng soạn toán. Với bộ bài tập lý thuyết toán thcs được biên soạn chuyên sâu, cập nhật chính xác theo khung chương trình sách giáo khoa THCS, đây chính là người bạn đồng hành đáng tin cậy giúp các em tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện và xây dựng nền tảng kiến thức Toán vững chắc thông qua phương pháp tiếp cận trực quan, mang lại hiệu quả vượt trội không ngờ.

Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán 6 KNTT với cuộc sống

Trong chương trình Toán 6, Kết nối tri thức (KNTT), kiến thức về Ước chung và Ước chung lớn nhất (UCLN) đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về lý thuyết này, từ định nghĩa, tính chất đến các ứng dụng thực tế, giúp học sinh hiểu rõ và áp dụng hiệu quả.

1. Định nghĩa về Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là số mà chia hết cho tất cả các số đó. Ví dụ, các ước chung của 12 và 18 là 1, 2, 3, và 6.

2. Định nghĩa về Ước chung lớn nhất (UCLN)

Ước chung lớn nhất (UCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong các ước chung của các số đó. Ký hiệu UCLN của hai số a và b là ƯCLN(a, b). Ví dụ, ƯCLN(12, 18) = 6.

3. Các phương pháp tìm UCLN

Có nhiều phương pháp để tìm UCLN, trong đó phổ biến nhất là:

  • Phương pháp liệt kê ước: Liệt kê tất cả các ước chung của các số, sau đó chọn số lớn nhất.
  • Phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, sau đó chọn các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất và nhân chúng lại với nhau.
  • Phương pháp sử dụng thuật toán Euclid: Đây là phương pháp hiệu quả nhất, đặc biệt với các số lớn.

4. Thuật toán Euclid để tìm UCLN

Thuật toán Euclid dựa trên nguyên lý: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a % b) với a > b. Quá trình lặp lại cho đến khi a % b = 0, thì b là UCLN.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(48, 18)

  1. 48 = 18 * 2 + 12
  2. 18 = 12 * 1 + 6
  3. 12 = 6 * 2 + 0

Vậy ƯCLN(48, 18) = 6.

5. Tính chất của UCLN

UCLN có một số tính chất quan trọng:

  • UCLN(a, b) = UCLN(b, a)
  • UCLN(a, b) = UCLN(a, b - a)
  • UCLN(a, b, c) = UCLN(UCLN(a, b), c)

6. Ứng dụng của Ước chung và UCLN trong thực tế

Kiến thức về Ước chung và UCLN không chỉ dừng lại ở việc giải toán mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế:

  • Chia nhóm: Ví dụ, chia 24 học sinh thành các nhóm nhỏ sao cho số học sinh trong mỗi nhóm là như nhau và số nhóm là nhiều nhất có thể. Ta cần tìm UCLN(24, số lượng học sinh tối đa trong mỗi nhóm).
  • Rút gọn phân số: Để rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu cho UCLN của chúng.
  • Giải các bài toán về chia đều: Ví dụ, có 36 cái kẹo và 24 cái bánh, muốn chia đều cho số người nhiều nhất có thể. Ta cần tìm UCLN(36, 24).

7. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập:

  1. Tìm ƯCLN(36, 60)
  2. Tìm ƯCLN(15, 25, 35)
  3. Một lớp học có 45 học sinh nam và 30 học sinh nữ. Muốn chia lớp thành các nhóm nhỏ sao cho mỗi nhóm có số lượng học sinh nam và nữ bằng nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu nhóm?

8. Kết luận

Lý thuyết về Ước chung và UCLN là một phần quan trọng của chương trình Toán 6 KNTT. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả mà còn ứng dụng vào nhiều tình huống thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 6