Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 11 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Bài viết này cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, dễ hiểu, phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành. Hãy cùng giaitoan.edu.vn khám phá lời giải bài tập này ngay nhé!
Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - m}}{{x - 1}}) ((m) là tham số). a) Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị. b) Chứng tỏ rằng khi (m = 2), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{x - 1}}\) (\(m\) là tham số).
a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Chứng tỏ rằng khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Để đồ hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình \({x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\).
Vậy với \(m < 3\) thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Vì \(m = 2\) thoả mãn điều kiện \(m < 3\) nên khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị.
Với \(m = 2\) hàm số có dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}}\)
Đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{x}} = 2\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và ${{y}_{CĐ}}=2$.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\).
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = ax + b\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\6 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = 2x + 2\).
Bài 11 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng tính đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 11 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài toán. Trước hết, cần xác định rõ hàm số cần tìm đạo hàm và các điều kiện của bài toán. Sau đó, áp dụng các công thức đạo hàm phù hợp để tính đạo hàm của hàm số. Cuối cùng, kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Bài toán: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1 tại x = 2.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
f'(2) = 3(2)2 + 4(2) - 5 = 12 + 8 - 5 = 15
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và kinh tế. Một số ứng dụng tiêu biểu của đạo hàm bao gồm:
Để học tập và rèn luyện thêm về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 11 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự trong tương lai. Chúc các bạn học tập tốt!
