Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các bạn. Hãy cùng theo dõi và luyện tập để đạt kết quả tốt nhất!
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}\) a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). So sánh các tung độ \({y_M}\) và \({y_{M'}}\). Từ đó, suy ra rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}\)
a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). So sánh các tung độ \({y_M}\) và \({y_{M'}}\).
Từ đó, suy ra rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)
‒ Để chứng minh rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\), ta chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MM'\).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = + \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}} = 1\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}} = 3\)
Vậy đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy \(I\left( {1;4} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) Ta có: \({x_M} = {x_I} - t = 1 - t \Rightarrow {y_M} = \frac{{x_M^2 + 2{{\rm{x}}_M} - 2}}{{{{\rm{x}}_M} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 2\left( {1 - t} \right) - 2}}{{\left( {1 - t} \right) - 1}} = \frac{{ - {t^2} + 4t - 1}}{t}\)
\({x_{M'}} = {x_I} + t = 1 + t \Rightarrow {y_{M'}} = \frac{{x_{M'}^2 + 2{{\rm{x}}_{M'}} - 2}}{{{{\rm{x}}_{M'}} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) - 2}}{{\left( {1 + t} \right) - 1}} = \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t}\)
Vì:
\(\begin{array}{l}{x_M} + {x_{M'}} = \left( {{x_I} - t} \right) + \left( {{x_I} + t} \right) = 2{x_I};\\{y_M} + {y_{M'}} = \frac{{ - {t^2} + 4t - 1}}{t} + \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t} = \frac{{\left( { - {t^2} + 4t - 1} \right) + \left( {{t^2} + 4t + 1} \right)}}{t} = 8 = 2{y_I}\end{array}\)
nên \(I\) là trung điểm của \(MM'\).
Vậy hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Bài 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập là rất quan trọng để đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Bài 9 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hiệu quả, bạn cần:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Khi giải bài tập về đạo hàm, bạn cần chú ý:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hoặc các tài liệu tham khảo khác.
Ngoài sách giáo khoa và sách bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Bài 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm. Hy vọng với những hướng dẫn và ví dụ minh họa trên, các bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
