Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 sách Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 55 một cách đầy đủ và chính xác.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Tính góc (alpha ) trong mỗi trường hợp sau: a) (alpha ) là góc giữa hai vectơ (overrightarrow a = left( {1;1; - 1} right)) và (overrightarrow b = left( {5;2;7} right)); b) (alpha ) là góc giữa hai đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 2 - sqrt 3 t\z = 5end{array} right.) và (d':left{ begin{array}{l}x = 1 - sqrt 3 t'\y = 7 + t'\z = 9end{array} right.). c) (alpha ) là góc giữa hai mặt phẳng (left( P right):4x + 2y - z + 9 = 0) và (
Đề bài
Tính góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {5;2;7} \right)\);
b) \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - \sqrt 3 t\\z = 5\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 t'\\y = 7 + t'\\z = 9\end{array} \right.\).
c) \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 2y - z + 9 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 6z - 11 = 0\);
d) \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}x + y - z + 99 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
‒ Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
‒ Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\)\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) \(\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.5 + 1.2 + \left( { - 1} \right).7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0\).
Vậy \(\alpha = {90^ \circ }\).
b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\).
Ta có: \(\cos \alpha = \cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\alpha = {30^ \circ }\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;1;6} \right)\).
Ta có: \(\cos \alpha = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0\).
Vậy \(\alpha = {90^ \circ }\).
d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có: \(\sin \alpha = \sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).
Vậy \(\alpha = {0^ \circ }\).
Bài 5 trang 55 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công bài tập này.
Bài 5 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn giải bài 5 trang 55 một cách hiệu quả, chúng tôi sẽ cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi. Dưới đây là một ví dụ minh họa:
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Để đạt được kết quả tốt nhất khi giải bài 5 trang 55, bạn cần lưu ý những điều sau:
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật. Để hiểu sâu hơn về đạo hàm, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Bài 5 trang 55 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ giải quyết thành công bài tập này và đạt được kết quả tốt trong môn Toán.
