Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, chi tiết và kèm theo các giải thích cụ thể để giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề.
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 2}}); b) (y = frac{{2{rm{x}} - 5}}{{3{rm{x}} + 1}}); c) (y = sqrt {4 - {x^2}} ); d) (y = x - ln {rm{x}}).
Đề bài
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}\);
b) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}\);
c) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \);
d) \(y = x - \ln {\rm{x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in D\) mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) theo thứ tự tăng dần, xét dấu \(f'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}} < 0\).
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị.
b) Xét hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{17}}{{{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0\).
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
c) Xét hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại $x=0,{{y}_{CĐ}}=2$.
d) Xét hàm số \(y = x - \ln {\rm{x}}\).
Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{x};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} = 1\).
Bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức và quy tắc đạo hàm đã học để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng, không chỉ để giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho việc học các môn học khác liên quan đến toán học.
Bài 3 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, bạn cần:
Bài toán: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1.
Giải:
f'(x) = d/dx (3x2 + 2x - 1)
f'(x) = 3 * d/dx (x2) + 2 * d/dx (x) - d/dx (1)
f'(x) = 3 * 2x + 2 * 1 - 0
f'(x) = 6x + 2
Để học tập và ôn luyện kiến thức về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
