Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Bài viết này cung cấp đáp án, phương pháp giải và giải thích rõ ràng từng bước để giúp học sinh hiểu bài và làm bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = 3 + frac{1}{x}); b) (y = 2 - frac{1}{{1 + x}}).
Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\);
b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sơ đồ khảo sát hàm số:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
‒ Tìm đạo hàm \(y'\), xét dấu \(y'\), xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
‒ Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số
‒ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),…
‒ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
‒ Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
a)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y' = - \frac{1}{{{x^2}}}\). Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \ne 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
• Tiệm cận:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \)
Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\)
Vậy \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{3};0} \right)\), đồ thị hàm số không có giao điểm với trục \(Oy\).
Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( {0;3} \right)\).
b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\). Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne - 1\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
• Tiệm cận:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \)
Vậy \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\)
Vậy \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\), số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\).
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và các phép toán trên hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn, và các ứng dụng khác của đạo hàm trong toán học.
Bài 5 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, học sinh cần:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1.
Giải:
f'(x) = 6x + 2
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số g(x) = sin(x).
Giải:
g'(x) = cos(x)
g''(x) = -sin(x)
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý đến các điểm sau:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về đạo hàm, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
