Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết tích phân Toán 12 chương trình Chân trời sáng tạo tại giaitoan.edu.vn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 12, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia.
Chúng tôi cung cấp một lộ trình học tập bài bản, từ những khái niệm cơ bản đến các ứng dụng nâng cao, giúp bạn xây dựng nền tảng vững chắc và tự tin đối mặt với mọi thử thách.
1. Diện tích hình thang cong
1. Diện tích hình thang cong
| Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\left[ {a;b} \right]\). |
2. Khái niệm tích phân
| Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \). |
Chú ý:
a) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước
\(\)\(\int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \) và \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} \)
b) Người ta chứng minh được, tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(t)dt} } \)
c) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), thì tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
3. Tính chất của tích phân
+ \(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số) + \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \) + \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \) + \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a < c < b) |
Tích phân là một trong hai phép toán cơ bản của giải tích, cùng với đạo hàm. Nó đại diện cho diện tích dưới đường cong của một hàm số và có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và kinh tế.
Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Nguyên hàm không duy nhất, vì nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
Tích phân bất định của hàm số f(x) ký hiệu là ∫f(x)dx, là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x). Công thức tổng quát: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C là hằng số tích phân.
| Hàm số f(x) | Tích phân ∫f(x)dx |
|---|---|
| xn (n ≠ -1) | (xn+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
Phương pháp đổi biến được sử dụng để tích phân các hàm số phức tạp bằng cách thay đổi biến số tích phân. Công thức: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du (với u = g(x)).
Phương pháp tích phân theo phần được sử dụng để tích phân tích của hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du.
Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] ký hiệu là ∫abf(x)dx, là giá trị của nguyên hàm F(x) tại b trừ đi giá trị của nguyên hàm tại a, tức là ∫abf(x)dx = F(b) - F(a).
Để nắm vững lý thuyết tích phân, bạn cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, được phân loại theo mức độ khó, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức.
Chúc bạn học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia!
