Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập 15 thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0;0;6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là ({A_1}(0;1;0)), ({A_2}(frac{{sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2};0)), ({A_3}( - frac{{sqrt 3 }}{2}; - frac{1}{2};0)) (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ (overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow {{F_3}} )
Đề bài
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0;0;6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \({A_1}(0;1;0)\), \({A_2}(\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\), \({A_3}( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\) (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vì đèn cân bằng nên trọng lực của đèn sẽ phân bố đều trên các chân của giá đỡ. Từ tọa độ các điểm đã cho, ta tìm được cái mối liên hệ với vecto lực và tìm được tọa độ của các vecto lực
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\left| {\overrightarrow {{A_1}O} } \right| = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\);
\(\left| {\overrightarrow {{A_2}O} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\);
\(\left| {\overrightarrow {{A_3}O} } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\).
Do đó \({A_1}O = {A_2}O = {A_3}O = 1\), suy ra O là trọng tâm tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\).
Khi đó \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{A_2}} + \overrightarrow {E{A_3}} = 3\overrightarrow {EO} \) (tính chất trọng tâm).
Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ \(E{A_1} = E{A_2} = E{A_3}\) (do các tam giác vuông \(EO{A_1}\), \(EO{A_2}\), \(EO{A_3}\) bằng nhau). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ:
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{E{A_1}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{E{A_2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{E{A_3}}} = k\) và \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {E{A_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {E{A_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {E{A_3}} \).
Từ \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{A_2}} + \overrightarrow {E{A_3}} = 3\overrightarrow {EO} \) đã chứng minh, ta được:
\(k\overrightarrow {E{A_1}} + k\overrightarrow {E{A_2}} + k\overrightarrow {E{A_3}} = 3k\overrightarrow {EO} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 3k\overrightarrow {EO} \).
Mà \(\overrightarrow {EO} = (0 - 0;0 - 0;0 - 6) = (0;0 - 6)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = (0;0; - 18k)\).
Giả sử \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. \(\overrightarrow P \) là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của \(\overrightarrow P = (0;0; - 300)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \Leftrightarrow - 18k = - 300 \Leftrightarrow k = \frac{{50}}{3}\).
Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = (0;\frac{{50}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_2}} = (\frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_3}} = ( - \frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\).
Bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Bài tập 15 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 15, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng dạng bài:
Để tính đạo hàm của hàm số, học sinh cần áp dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học, bao gồm:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = x2 + 2x - 1.
Lời giải: y' = 2x + 2.
Để khảo sát hàm số bằng đạo hàm, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Lời giải: (Thực hiện các bước khảo sát hàm số như đã trình bày ở trên).
Để giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm, học sinh cần vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán và giải quyết bài toán một cách hợp lý.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = -x2 + 4x - 3 trên đoạn [0; 2].
Lời giải: (Thực hiện các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số như đã học).
Để đạt kết quả tốt nhất khi giải bài tập 15, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
