Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về tọa độ của vecto, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách biểu diễn vecto trên mặt phẳng tọa độ, các phép toán trên vecto biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của tọa độ vecto trong việc giải các bài toán hình học.
1. Tọa độ của một điểm a) Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Tọa độ của một điểm
a) Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
b) Tọa độ của một điểm
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M. - Xác định hình chiếu \({M_1}\) của điểm M trên mặt phẳng (Oxy). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a, tung độ b của điểm \({M_1}\) - Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M. Bộ số (a;b;c) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, kí hiệu là M(a;b;c) |
2. Tọa độ của một vecto
Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vecto \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \) = (a;b;c) thì \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] . Ngược lại, nếu \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] thì \(\overrightarrow u \) = (a;b;c) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\) |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)
Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)
Trong chương trình Toán 12, phần tọa độ của vecto đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học một cách chính xác và hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về tọa độ của vecto theo chương trình Cánh Diều, bao gồm định nghĩa, các phép toán và ứng dụng.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi vectơ a được xác định bởi tọa độ a = (x; y), trong đó x là hoành độ và y là tung độ của vectơ. Vectơ không 0 có tọa độ (0; 0).
Có hai loại tích quan trọng của hai vectơ:
Tọa độ vectơ có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, bao gồm:
Ví dụ 1: Cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2).
Ví dụ 2: Cho a = (1; -2) và b = (3; 1). Tính a + b và a.b.
Giải:a + b = (1 + 3; -2 + 1) = (4; -1). a.b = 1*3 + (-2)*1 = 1.
Khi làm việc với tọa độ vectơ, cần chú ý đến các quy tắc về dấu và thứ tự của các tọa độ. Việc hiểu rõ các phép toán trên vectơ và ứng dụng của chúng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết tọa độ của vectơ trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!