Chào mừng các em học sinh lớp 12 đến với chuyên mục Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 môn Toán 12 chương trình Kết nối tri thức của giaitoan.edu.vn. Chúng tôi cung cấp đầy đủ các đề thi, bài tập trắc nghiệm và tự luận, giúp các em ôn tập và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi đã biên soạn và chọn lọc những đề thi chất lượng, bám sát cấu trúc đề thi chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu
\(F'\left( x \right) = - f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(f'\left( x \right) = F\left( x \right),\forall x \in K\).
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(f'\left( x \right) = - F\left( x \right),\forall x \in K\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\) là
\(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C\).
\({x^4} + {x^2} + C\).
\({x^5} + {x^3} + C\).
\(3{x^3} + 2x + C\).
Biết \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
Giá trị của \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx} \) bằng
52
26
54
56
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 9;} \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx = 4} .\)
Tính \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} \).
\(I = 5\).
\(I = 36\).
\(I = \frac{9}{4}\).
\(I = 13\).
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), \(y = - 1\), \(x = 0\) và \(x = 1\) được tính bởi công thức nào sau đây?
\(S = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx} \).
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} - 1} \right)dx} \).
\(S = \int\limits_0^1 {{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}dx} \).
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx} \).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;0; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3; - 1;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 1;0; - 1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\)?
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 2}}{3}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
\(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2; - 5;3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;5;3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {1;3;2} \right)\).
Trong không gian Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm \(M\left( {6; - 2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;1; - 1} \right)\)?
\(\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x + 6}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 6}}{{ - 3}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\). Xác định tọa độ tâm mặt cầu \(\left( S \right)\).
\(I\left( { - 3;1; - 1} \right)\).
\(I\left( {3;1; - 1} \right)\).
\(I\left( {3; - 1;1} \right)\).
\(I\left( { - 3; - 1;1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\), bán kính bằng 3?
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 3 = 0\). Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là
3
\(\sqrt 3 \).
\(\sqrt 2 \).
2
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{7};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{4};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{5}\). Giá trị của \(P\left( B \right)\) là
\(\frac{1}{7}\).
\(\frac{3}{{14}}\).
\(\frac{1}{{14}}\).
\(\frac{2}{7}\).
Cho hai biến cố A, B sao cho \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( {A|B} \right) = 0,7;P\left( {B|A} \right) = 0,3\). Tính \(P\left( {\overline B } \right)\)
0,21.
0,28.
\(\frac{6}{{35}}\).
\(\frac{{29}}{{35}}\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x\) là
\({x^3} + \cos x + C\).
\(6x + \cos x + C\).
\({x^3} - \cos x + C\).
\(6x - \cos x + C\).
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \).
7.
\(5 + \frac{\pi }{2}\).
\(5 + \pi \).
3.
Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} = a + b\ln c\), với \(a,b,c \in \mathbb{R},c > 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
5.
6.
7.
8.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích là
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
\(2\pi \).
2.
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\), \(\left( \beta \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là
\(2x - y - 2z = 0\).
\(2x - y + 2z = 0\).
\(2x + y - 2z = 0\).
\(2x + y - 2z + 1 = 0\).
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {2;0;1} \right),C\left( {3; - 2;0} \right)\). Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) là
\(6x + y - 4z = 16\).
\(6x - y - 4z = 16\).
\(6x + y + 4z = 16\).
\(6x - y + 4z = 16\).
Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) và \(N\left( {3;2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(MN\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2t\\z = 1 + t.\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 + t.\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t.\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1 + t.\end{array} \right.\)
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( {2;4;1} \right)\) và \(B\left( { - 2;2; - 3} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
\({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36\).
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời:
Bạn An có một túi gồm 8 viên bi đen và 6 viên bi trắng. An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong túi để cho Việt, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi nữa trong túi và cũng đưa cho Việt.
Xác suất để Việt nhận được 2 viên bi trắng là
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{{15}}{{91}}\).
\(\frac{{30}}{{91}}\).
\(\frac{{15}}{{182}}\).
Bạn An có một túi gồm 8 viên bi đen và 6 viên bi trắng. An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong túi để cho Việt, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi nữa trong túi và cũng đưa cho Việt.
Xác suất để Việt nhận được viên bi đen ở lần thứ nhất và viên bi trắng ở lần thứ hai là
\(\frac{24}{91}\).
\(\frac{{15}}{{91}}\).
\(\frac{{30}}{{91}}\).
\(\frac{{15}}{{182}}\).
Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 là 0,8 và bắn trúng bia số 2 là 0,9. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,75. Biết xạ thủ đó bắn không trúng bia số 1, xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 là
\(\frac{{41}}{{50}}\).
\(\frac{9}{{50}}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{4}\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\) là
\(2{e^x} - \frac{1}{{\cos x}} + C\).
\(2{e^x} - \tan x + C\).
\(2{e^x} + \tan x + C\).
\(2{e^x} + \frac{1}{{\cos x}} + C\).
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_0};{p_0}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \(y = D\left( x \right)\) và đồ thị hàm cung \(p = S\left( x \right)\) được gọi là điểm cân bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(p = {p_0}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường nằm ngang \(p = {p_0}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như hình vẽ sau:
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: \(y = - 0,01{e^x} + 19\) và hàm cung \(p = 0,09{e^x} + 1\) trong đó \(x\) là số đơn vị sản phẩm. Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này lần lượt là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?
68,01 và 7,57.
68,02 và 7,56.
69,02 và 7,56.
70,02 và 7,66.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + 10\) (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
0,2 m.
2 m.
10 m.
20 m.
Góc quan sát ngang của một camera là \({130^ \circ }\). Trong không gian \(Oxyz\), camera được đặt tại điểm \(C\left( {1;2;2} \right)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 5 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
57,7.
57,8.
56,7.
56,8.
Trong không gian \(Oxyz\), cho các đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\), \(\left( {{d_2}} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\),
\(\left( {{d_3}} \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\), \(\left( {{d_4}} \right):\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là
1.
2.
0.
Vô số.
Biết rằng nếu vị trí \(M\) có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E\left( {0 < \alpha ,\beta < 90} \right)\) thì có tọa độ \(M\left( {\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ }} \right)\). Biết một đơn vị dài trong không gian \(Oxyz\) tương ứng với 6371 km trong thực tế. Khoảng cách trên mặt đất từ vị trí \(P:{30^ \circ }N{45^ \circ }E\) đến vị trí \(Q:{60^ \circ }N{45^ \circ }E\) là (tính chính xác tới chữ số thập phân thứ 4 sau dấu phẩy theo đơn vị kilômét)?
3335,8475 km.
3335,8478 km.
3355,8478 km.
3355,8475 km.
Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 6 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 8 con thỏ đen và 4 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên một con thỏ rồi cho vào chuồng II. Sau đó, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên một con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.
\(\frac{5}{{13}}\).
\(\frac{{37}}{{104}}\).
\(\frac{4}{{13}}\).
\(\frac{{35}}{{104}}\).
Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,01%. Nếu một người mắc bệnh thì xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là 90%, nếu một người không mắc bệnh thì xác suất cho kết quả dương tính là 5%. Khi một người xét nghiệm có kết quả dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu phần trăm?
0,01%.
4,9995%.
0,1797%.
0,001%.
Có hai đội thi đấu môn bắn súng. Đội I có 6 vận động viên, đội II có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên trong hai đội. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.
\(\frac{{39}}{{140}}\).
\(\frac{{39}}{{83}}\).
\(\frac{{43}}{{83}}\).
\(\frac{{37}}{{140}}\).
Hình bên dưới là một cánh cửa gỗ, phần dưới có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) và mép trên là một phần của đường parabol với kích thước như sau: \(AB = 2,2m,{\rm{ }}AD = 4m,{\rm{ }}EO = 5,5m\). Biết giá thành sản xuất cửa là \(30\) triệu đồng\(/{m^2}\). Tính tổng chi phí để sản xuất cửa gỗ đã cho (làm tròn tới chữ số hàng phần trăm của triệu đồng).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\) và đường thẳng
\(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong một hộp kín có 10 chiếc bút bi xanh và 6 chiếc bút bi đỏ đều có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 15 chiếc bút còn lại. Tính xác suất bạn Sơn lấy được chiếc bút bi xanh và Tùng lấy được chiếc bút bi đỏ.
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu
\(F'\left( x \right) = - f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(f'\left( x \right) = F\left( x \right),\forall x \in K\).
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(f'\left( x \right) = - F\left( x \right),\forall x \in K\).
Đáp án : C
Hiểu rõ khái niệm nguyên hàm của một hàm số trên một khoảng.
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\) là
\(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C\).
\({x^4} + {x^2} + C\).
\({x^5} + {x^3} + C\).
\(3{x^3} + 2x + C\).
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa.
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right)dx} = \int {{x^4}dx} + \int {{x^2}dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Biết \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
Giá trị của \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx} \) bằng
52
26
54
56
Đáp án : A
Tính hàm \(f\left( x \right)\) sau đó thay vào \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx} \).
Ta có \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 3{x^2}\) suy ra \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {2 \cdot 3{x^2}dx} = \left. {6 \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 = 52\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 9;} \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx = 4} .\)
Tính \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} \).
\(I = 5\).
\(I = 36\).
\(I = \frac{9}{4}\).
\(I = 13\).
Đáp án : D
Áp dụng tính chất phép cộng tích phân.
Ta có \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = 9 + 4 = 13.\)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), \(y = - 1\), \(x = 0\) và \(x = 1\) được tính bởi công thức nào sau đây?
\(S = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx} \).
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} - 1} \right)dx} \).
\(S = \int\limits_0^1 {{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}dx} \).
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx} \).
Đáp án : D
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.
Trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) nằm trên \(y = - 1\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;0; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3; - 1;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 1;0; - 1} \right)\).
Đáp án : A
Từ phương trình mặt phẳng suy ra vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;0; - 1} \right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\)?
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
Đáp án : C
Sử dụng công thức của phương trình mặt phẳng.
Do mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\) nên ta chọn đáp án B hoặc C.
Kiểm tra xem mặt phẳng có chứa \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) hay không.
Xét B: Thay \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) vào \(x - 2y + 3z - 12 = 0\) ta được \(1 - 4 - 9 - 12 = 0 \Leftrightarrow - 24 = 0\) (vô lý).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 2}}{3}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
\(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2; - 5;3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;5;3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {1;3;2} \right)\).
Đáp án : B
Sử dụng công thức của phương trình theo đoạn chắn.
\(\overrightarrow u = \left( {2; - 5;3} \right)\) là vecto chỉ phương của đường thẳng.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm \(M\left( {6; - 2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;1; - 1} \right)\)?
\(\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x + 6}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 6}}{{ - 3}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Đáp án : A
Áp dụng công thức phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {6; - 2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;1; - 1} \right)\) là \(\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\). Xác định tọa độ tâm mặt cầu \(\left( S \right)\).
\(I\left( { - 3;1; - 1} \right)\).
\(I\left( {3;1; - 1} \right)\).
\(I\left( {3; - 1;1} \right)\).
\(I\left( { - 3; - 1;1} \right)\).
Đáp án : D
Áp dụng công thức phương trình mặt cầu.
Tâm mặt cầu là \(I\left( { - 3; - 1;1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\), bán kính bằng 3?
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\).
Đáp án : B
Áp dụng công thức phương trình mặt cầu.
Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\), bán kính bằng 3 là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 3 = 0\). Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là
3
\(\sqrt 3 \).
\(\sqrt 2 \).
2
Đáp án : C
Áp dụng công thức phương trình mặt cầu.
Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(\sqrt {{2^2} + {1^2} - 3} = \sqrt 2 \).
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{7};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{4};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{5}\). Giá trị của \(P\left( B \right)\) là
\(\frac{1}{7}\).
\(\frac{3}{{14}}\).
\(\frac{1}{{14}}\).
\(\frac{2}{7}\).
Đáp án : B
Áp dụng công thức xác suất toàn phần.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{2}{7} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{5}{7}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần
\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{{14}}\).
Cho hai biến cố A, B sao cho \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( {A|B} \right) = 0,7;P\left( {B|A} \right) = 0,3\). Tính \(P\left( {\overline B } \right)\)
0,21.
0,28.
\(\frac{6}{{35}}\).
\(\frac{{29}}{{35}}\).
Đáp án : D
Áp dụng công thức \(P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)\).
Ta có \(P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,4 \cdot 0,3:0,7 = \frac{6}{{35}}\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x\) là
\({x^3} + \cos x + C\).
\(6x + \cos x + C\).
\({x^3} - \cos x + C\).
\(6x - \cos x + C\).
Đáp án : C
Áp dụng công thức tìm nguyên hàm cơ bản của hàm lũy thừa và hàm số lượng giác.
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + \sin x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x + C\).
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \).
7.
\(5 + \frac{\pi }{2}\).
\(5 + \pi \).
3.
Đáp án : A
Áp dụng tính chất phép cộng tích phân và các công thức nguyên hàm cơ bản.
Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = 5 - 2\left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 5 + 2 = 7\).
Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} = a + b\ln c\), với \(a,b,c \in \mathbb{R},c > 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
5.
6.
7.
8.
Đáp án : C
Tính tích phân \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} \) từ đó suy ra \(a,b,c\).
Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + 2\int\limits_1^3 {\frac{1}{x}dx} = \left. x \right|_1^3 + 2\left. {\ln x} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3\) suy ra \(a = 2,b = 2,c = 3\).
Do đó \(S = a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7\).
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích là
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
\(2\pi \).
2.
Đáp án : B
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích là
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{3} + 1} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\).
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\), \(\left( \beta \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là
\(2x - y - 2z = 0\).
\(2x - y + 2z = 0\).
\(2x + y - 2z = 0\).
\(2x + y - 2z + 1 = 0\).
Đáp án : C
Xét 4 đáp án để kiểm tra mặt phẳng có đi qua O không. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng cần tìm bằng tích có hướng.
Đầu tiên ta loại đáp án D vì mặt phẳng \(2x + y - 2z + 1 = 0\) không đi qua O.
Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 4;3} \right)\).
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {2;0;1} \right),C\left( {3; - 2;0} \right)\). Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) là
\(6x + y - 4z = 16\).
\(6x - y - 4z = 16\).
\(6x + y + 4z = 16\).
\(6x - y + 4z = 16\).
Đáp án : C
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm bằng tích có hướng.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;0; - 3} \right)\).
Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) là
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6; - 1; - 4} \right) = - \left( {6;1;4} \right)\). Do đó ta chọn C.
Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).
Đáp án : B
Loại các đáp án có đường thẳng không đi qua A. Đường thẳng cần tìm có một vectơ chỉ
phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Ta loại đáp án A và C do hai đường thẳng này đều không đi qua A.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;3; - 2} \right)\), vectơ này cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) và \(N\left( {3;2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(MN\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2t\\z = 1 + t.\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 + t.\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t.\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1 + t.\end{array} \right.\)
Đáp án : C
Vì 4 đáp án đều có các vectơ chỉ phương không cùng phương nên ta chỉ cần xác định vectơ
chỉ phương của \(MN\) và đối chiếu với các đáp án.
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;2; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\).
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( {2;4;1} \right)\) và \(B\left( { - 2;2; - 3} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
\({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36\).
Đáp án : A
Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Mặt cầu cần tìm có tâm là trung điểm \(I\left( {0;3; - 1} \right)\) của đoạn \(AB\).
Bán kính mặt cầu là \(IA = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3\).
Suy ra phương trình mặt cầu là \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời:
Bạn An có một túi gồm 8 viên bi đen và 6 viên bi trắng. An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong túi để cho Việt, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi nữa trong túi và cũng đưa cho Việt.
Xác suất để Việt nhận được 2 viên bi trắng là
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{{15}}{{91}}\).
\(\frac{{30}}{{91}}\).
\(\frac{{15}}{{182}}\).
Đáp án : B
Đặt tên các biến cố và áp dụng công thức xác suất có điều kiện.
Gọi C là biến cố: “Hai viên bi Việt nhận được đều là trắng”.
A là biến cố: “Viên bi đầu tiên An lấy được là trắng”.
B là biến cố: “Viên bi thứ hai An lấy được là trắng”.
Khi đó \(C = AB\). Ta có \(P\left( A \right) = \frac{6}{{14}}\), \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{13}}\).
Suy ra \(P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{{14}} \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{15}}{{91}}\).
Bạn An có một túi gồm 8 viên bi đen và 6 viên bi trắng. An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong túi để cho Việt, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi nữa trong túi và cũng đưa cho Việt.
Xác suất để Việt nhận được viên bi đen ở lần thứ nhất và viên bi trắng ở lần thứ hai là
\(\frac{24}{91}\).
\(\frac{{15}}{{91}}\).
\(\frac{{30}}{{91}}\).
\(\frac{{15}}{{182}}\).
Đáp án : A
Đặt tên các biến cố và xác định biến cố cần tính xác suất. Áp dụng công thức nhân xác suất.
Gọi A là biến cố: “Viên bi đầu tiên An lấy được là đen”.
B là biến cố: “Viên bi thứ hai An lấy được là trắng”.
Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{8}{{14}},P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{{13}}\).
Ta cần tính \(P\left( {AB} \right)\). Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) = \frac{8}{{14}} \cdot \frac{6}{{13}} = \frac{{24}}{{91}}\).
Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 là 0,8 và bắn trúng bia số 2 là 0,9. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,75. Biết xạ thủ đó bắn không trúng bia số 1, xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 là
\(\frac{{41}}{{50}}\).
\(\frac{9}{{50}}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{4}\).
Đáp án : D
Đặt tên các biến cố và xác định biến cố cần tính xác suất. Áp dụng công thức xác suất có
điều kiện.
Gọi A là biến cố: “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 1”.
B là biến cố: “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 2”.
Biết xạ thủ đó bắn không trúng bia số 1, xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 là
\(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {BA} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,9 - 075}}{{1 - 0,8}} = \frac{3}{4}\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\) là
\(2{e^x} - \frac{1}{{\cos x}} + C\).
\(2{e^x} - \tan x + C\).
\(2{e^x} + \tan x + C\).
\(2{e^x} + \frac{1}{{\cos x}} + C\).
Đáp án : C
Áp dụng các công thức tìm nguyên hàm cơ bản.
Ta có \(\int {{e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = 2\int {{e^x}dx} + \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = 2{e^x} + \tan x + C\).
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_0};{p_0}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \(y = D\left( x \right)\) và đồ thị hàm cung \(p = S\left( x \right)\) được gọi là điểm cân bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(p = {p_0}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường nằm ngang \(p = {p_0}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như hình vẽ sau:
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: \(y = - 0,01{e^x} + 19\) và hàm cung \(p = 0,09{e^x} + 1\) trong đó \(x\) là số đơn vị sản phẩm. Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này lần lượt là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?
68,01 và 7,57.
68,02 và 7,56.
69,02 và 7,56.
70,02 và 7,66.
Đáp án : B
Tìm tọa độ điểm cân bằng. Áp dụng công thức tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản
xuất theo tích phân.
Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình
\( - 0,01{e^x} + 19 = 0,09{e^x} + 1 \Rightarrow 0,1{e^x} = 18 \Rightarrow x = \ln 180\).
Suy ra tung độ điểm cân bằng là \(y = 0,09{e^{\ln 180}} + 1 = 17,2\).
Thặng dư sản xuất cho sản phẩm đã cho là \(\int\limits_0^{\ln 180} {\left| {17,2 - 0,09{e^x} - 1} \right|dx} \approx 68,02\).
Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm đã cho là \(\int\limits_0^{\ln 180} {\left| { - 0,01{e^x} + 19 - 17,2} \right|dx} \approx 7,56\).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + 10\) (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
0,2 m.
2 m.
10 m.
20 m.
Đáp án : C
Quãng đường cần tìm là tích phân của vận tốc từ 0 đến 2.
Xét phương trình \( - 5t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2 giây ô tô dừng hẳn.
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là
\(s = \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right)dt} = \left. {\left( { - \frac{5}{2}{t^2} + 10t} \right)} \right|_0^2 = 10\) (m).
Góc quan sát ngang của một camera là \({130^ \circ }\). Trong không gian \(Oxyz\), camera được đặt tại điểm \(C\left( {1;2;2} \right)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 5 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
57,7.
57,8.
56,7.
56,8.
Đáp án : B
Tìm bán kính vùng quan sát thông qua khoảng cách từ điểm \(C\) tới mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khoảng cách từ điểm \(C\) tới mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(d\left( {C,\left( P \right)} \right) = CH = \frac{{\left| {1 + 4 - 4 + 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = 2\).
Vùng quan sát là hình tròn tâm \(H\) bán kính \(HA\) và có diện tích là \(\pi \cdot {\left( {CH \cdot \tan {{65}^ \circ }} \right)^2} \approx 57,8\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho các đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\), \(\left( {{d_2}} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\),
\(\left( {{d_3}} \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\), \(\left( {{d_4}} \right):\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là
1.
2.
0.
Vô số.
Đáp án : A
Xét vị trí tương đối của 4 đường thẳng với nhau để đưa ra nhận xét.
Ta có \({d_1}\parallel {d_2}\) nên chúng xác định duy nhất một mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giả sử có đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng đề bài cho thì nó phải thuộc \(\left( P \right)\). Kiểm tra được các đường thẳng \({d_3},{d_4}\) cắt \(\left( P \right)\) lần lượt tại A, B.
Vậy có duy nhất đường thẳng AB cắt cả 4 đường thẳng đã cho.
Biết rằng nếu vị trí \(M\) có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E\left( {0 < \alpha ,\beta < 90} \right)\) thì có tọa độ \(M\left( {\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ }} \right)\). Biết một đơn vị dài trong không gian \(Oxyz\) tương ứng với 6371 km trong thực tế. Khoảng cách trên mặt đất từ vị trí \(P:{30^ \circ }N{45^ \circ }E\) đến vị trí \(Q:{60^ \circ }N{45^ \circ }E\) là (tính chính xác tới chữ số thập phân thứ 4 sau dấu phẩy theo đơn vị kilômét)?
3335,8475 km.
3335,8478 km.
3355,8478 km.
3355,8475 km.
Đáp án : B
Xác định tọa độ \(P,{\rm{ }}Q\). Từ đó xác định \(\widehat {POQ}\).
Ta có \(P\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{1}{2}} \right),{\rm{ }}Q\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Từ đó \(\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {POQ} = {30^ \circ }\).
Khoảng cách trên mặt đất từ \(P\) đến \(Q\) là \(\frac{{30 \cdot 2\pi }}{{360}} \cdot 6371 \approx 3335,8478\).
Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 6 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 8 con thỏ đen và 4 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên một con thỏ rồi cho vào chuồng II. Sau đó, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên một con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.
\(\frac{5}{{13}}\).
\(\frac{{37}}{{104}}\).
\(\frac{4}{{13}}\).
\(\frac{{35}}{{104}}\).
Đáp án : B
Gọi tên các biến cố, áp dụng công thức xác suất toàn phần.
Gọi biến cố A: “Lấy từ chuồng I ra được thỏ trắng”;
B: “Lấy từ chuồng II ra được thỏ trắng”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{16}};P\left( {\overline A } \right) = \frac{6}{{16}};P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{13}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{{13}}\).
Vậy \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{16}} \cdot \frac{5}{{13}} + \frac{6}{{16}} \cdot \frac{4}{{13}} = \frac{{37}}{{104}}\).
Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,01%. Nếu một người mắc bệnh thì xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là 90%, nếu một người không mắc bệnh thì xác suất cho kết quả dương tính là 5%. Khi một người xét nghiệm có kết quả dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu phần trăm?
0,01%.
4,9995%.
0,1797%.
0,001%.
Đáp án : C
Gọi tên các biến cố, áp dụng công thức Bayes.
Gọi biến cố M: “Người đó mắc bệnh”;
D: “Người đó xét nghiệm dương tính”.
Ta có \(P\left( M \right) = 0,01\% = 0,0001 \Rightarrow P\left( {\overline M } \right) = 1 - 0,0001 = 0,9999\).
Trong số những người không mắc bệnh nhưng có 5% số người có xét nghiệm dương tính
nên \(P\left( {D|\overline M } \right) = 5\% = 0,05\).
Nếu một người mắc bệnh thì xác suất xét nghiệm cao cho kết quả dương tính là 90% nên
\(P\left( {D|M} \right) = 90\% = 0,9\).
Khi một người xét nghiệm có kết quả dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là
\(P\left( {M|D} \right)\). Áp dụng công thức Bayes ta có
\(P\left( {M|D} \right) = \frac{{P\left( M \right) \cdot P\left( {D|M} \right)}}{{P\left( M \right) \cdot P\left( {D|M} \right) + P\left( {\overline M } \right) \cdot P\left( {D|\overline M } \right)}} = \frac{{0,0001 \cdot 0,9}}{{0,0001 \cdot 0,9 + 0,9999 \cdot 0,05}} = 0,1797\% \).
Có hai đội thi đấu môn bắn súng. Đội I có 6 vận động viên, đội II có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên trong hai đội. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.
\(\frac{{39}}{{140}}\).
\(\frac{{39}}{{83}}\).
\(\frac{{43}}{{83}}\).
\(\frac{{37}}{{140}}\).
Đáp án : B
Gọi tên các biến cố, áp dụng công thức Bayes.
Gọi biến cố A: “Vận động viên được chọn thuộc đội I”;
V: “Vận động viên đạt huy chương vàng”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{6}{{14}} = \frac{3}{7} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{4}{7}\);\(P\left( {V|A} \right) = 0,65;P\left( {V|\overline A } \right) = 0,55\).
Xác suất để vận động viên thuộc đội I khi đạt huy chương vàng là
\(P\left( {A|V} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {V|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {V|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {V|\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{3}{7} \cdot 0,65}}{{\frac{3}{7} \cdot 0,65 + \frac{4}{7} \cdot 0,55}} = \frac{{39}}{{83}}\).
Hình bên dưới là một cánh cửa gỗ, phần dưới có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) và mép trên là một phần của đường parabol với kích thước như sau: \(AB = 2,2m,{\rm{ }}AD = 4m,{\rm{ }}EO = 5,5m\). Biết giá thành sản xuất cửa là \(30\) triệu đồng\(/{m^2}\). Tính tổng chi phí để sản xuất cửa gỗ đã cho (làm tròn tới chữ số hàng phần trăm của triệu đồng).
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp và gắn tọa độ cho các điểm. Tính diện tích hình phẳng bằng
ứng dụng tích phân.
Chọn hệ trục Oxyz sao cho \(A\left( { - 1;1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {1;1;0} \right)\), khi đó ta có
\(C\left( {1;1;4} \right),{\rm{ }}D\left( { - 1;1;4} \right),{\rm{ }}E\left( {0;5;5} \right)\).
Phương trình của parabol có dạng \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do \(\left( P \right)\) đi qua \(C,D,E\) nên có
phương trình \(y = - \frac{{150}}{{121}}{x^2} + 1,5\).
Vậy diện tích cánh cửa gỗ là \(2,2 \cdot 4 + \int\limits_{ - 1,1}^{1,1} {\left| { - \frac{{150}}{{121}}{x^2} + 1,5} \right|dx = 11\left( {{m^2}} \right)} \).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\) và đường thẳng
\(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Áp dụng công thức liên hệ tích vô hướng của hai vectơ để tính sin.
Ta có một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\); một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\). Suy ra \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {2 - 2 - 2} \right|}}{{3\sqrt 6 }} = \frac{2}{{3\sqrt 6 }} \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 15,{79^ \circ }\).
Trong một hộp kín có 10 chiếc bút bi xanh và 6 chiếc bút bi đỏ đều có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 15 chiếc bút còn lại. Tính xác suất bạn Sơn lấy được chiếc bút bi xanh và Tùng lấy được chiếc bút bi đỏ.
Áp dụng công thức nhân xác suất.
Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được chiếc bút bi xanh”;
B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được chiếc bút bi đỏ”;
Vì \(n\left( A \right) = 10\) nên \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\).
Nếu A xảy ra tức là Sơn lấy được chiếc bút bi xanh thì trong hộp còn lại 9 chiếc bút bi
xanh và 6 chiếc bút bi đỏ. Suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{{15}}\).
Theo công thức nhân xác suất \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{{15}} = \frac{1}{4}\).
Vậy xác suất cần tìm là \(\frac{1}{4}\).
Kỳ kiểm tra cuối học kì 2 môn Toán 12 đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá kết quả học tập của học sinh trong cả năm học. Việc làm quen với cấu trúc đề thi và luyện tập thông qua các đề minh họa là một bước chuẩn bị thiết yếu để đạt kết quả tốt nhất. Sách Bài tập (SBT) Toán 12 Kết nối tri thức là một nguồn tài liệu ôn tập hữu ích, cung cấp nhiều bài tập đa dạng và phong phú.
Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Luyện tập với đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức mang lại nhiều lợi ích:
Để đạt hiệu quả cao nhất khi luyện tập với đề minh họa, học sinh nên:
Sách Bài tập Toán 12 Kết nối tri thức cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, bao gồm các bài tập trắc nghiệm, tự luận, bài tập vận dụng và bài tập nâng cao. Việc giải các bài tập trong SBT Toán 12 Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi.
| Dạng bài tập | Nội dung |
|---|---|
| Đạo hàm | Tính đạo hàm của hàm số, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. |
| Tích phân | Tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích và thể tích. |
| Hình học không gian | Tính khoảng cách, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, thể tích khối đa diện và khối tròn xoay. |
| Số phức | Thực hiện các phép toán với số phức, giải phương trình bậc hai với hệ số phức. |
Việc luyện tập với Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức là một phương pháp ôn tập hiệu quả, giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin bước vào kỳ thi. Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt nhất!
