Bài 5.47 trang 39 sách bài tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị của hàm số.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.47 trang 39, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (Aleft( {2; - 1; - 3} right)); (Bleft( {3;0; - 1} right)) và mặt phẳng (left( P right):x - 3y - z - 5 = 0). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\); \(B\left( {3;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\) là một vectơ pháp tuyến của (Q).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\). Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3; - 1} \right)\).
Do (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) một vectơ pháp tuyến của (Q) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {5;3; - 4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q) là \(5\left( {x - 3} \right) + 3y - 4\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 3y - 4z - 19 = 0\).
Bài 5.47 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:
Để tính đạo hàm f'(x), ta áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức:
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:
Từ đó, ta kết luận:
Dựa vào kết quả khảo sát, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có dạng đường cong đi qua các điểm quan trọng như:
Thông qua việc giải bài 5.47 trang 39 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, chúng ta đã nắm vững các bước khảo sát hàm số bằng đạo hàm, bao gồm tính đạo hàm, tìm điểm cực trị, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 12 và sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Để hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm hiểu về các phương pháp giải bài toán tối ưu hóa và bài toán liên quan đến đạo hàm.
Xét hàm số g(x) = x4 - 4x2 + 3. Hãy thực hiện các bước khảo sát hàm số tương tự như bài 5.47.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, các em cần chú ý đến việc xác định đúng tập xác định của hàm số và kiểm tra các điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị.
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Tính đạo hàm f'(x) |
| 2 | Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm điểm cực trị |
| 3 | Khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng cách xét dấu f'(x) |
| 4 | Vẽ đồ thị hàm số |
