Bài 4.11 trang 12 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.11 trang 12, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) (intlimits_0^3 {left( {2x + 1} right)dx} ); b) (intlimits_0^4 {sqrt {16 - {x^2}} dx} ).
Đề bài
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(2x + 1\) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;3} \right]\).
Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.
Ý b: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(\sqrt {16 - {x^2}} \) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;4} \right]\).
Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.
Lời giải chi tiết
a) Ta có hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\) không âm trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là
diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và
\(x = 3\) như hình vẽ bên.Ta cần tính diện tích hình thang vuông có
đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.
Suy ra \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 7} \right) \cdot 3 = 12\).
b) Ta có \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).
Ta có hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {16 - {x^2}} \) không âm trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và \(x = 4\) như hình vẽ bên.
Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot {4^2} = 4\pi \).
Bài 4.11 trang 12 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Nội dung bài toán: (Giả sử nội dung bài toán là: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
f'(x) = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Khi giải các bài toán về đạo hàm, học sinh cần chú ý:
Ngoài bài 4.11, các em học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc hiểu rõ bản chất của đạo hàm và các ứng dụng của nó trong thực tế sẽ giúp các em học Toán 12 hiệu quả hơn.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em học sinh trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này, chúng ta có thể xét một ví dụ khác. Ví dụ, cho hàm số y = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1. Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số này.
(Giải thích chi tiết tương tự như ví dụ trên, bao gồm các bước tính đạo hàm, tìm điểm làm đạo hàm bằng 0, lập bảng xét dấu và kết luận)
Bài 4.11 trang 12 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán này và tự tin làm bài tập.
