Bài 4.22 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.22 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) (y = {left( {x - 1} right)^3},{rm{ }}y = x - 1,{rm{ }}x = 0,{rm{ }}x = 1); b) (y = {x^3} + 2{x^2} - 3x,{rm{ }}y = {x^2} + 3x,{rm{ }}x = - 3,{rm{ }}x = 0).
Đề bài
Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y = {\left( {x - 1} \right)^3},{\rm{ }}y = x - 1,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1\);
b) \(y = {x^3} + 2{x^2} - 3x,{\rm{ }}y = {x^2} + 3x,{\rm{ }}x = - 3,{\rm{ }}x = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Sử dụng công thức tính diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên một đoạn, xác định hàm số nào có giá trị lớn hơn trên đoạn đó để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ý b: Sử dụng công thức tính diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên một đoạn, xác định hàm số nào có giá trị lớn hơn trên đoạn đó để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết
a) Vì \({\left( {x - 1} \right)^3} \ge \left( {x - 1} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\) nên diện tích cần tìm là
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}.\end{array}\)
b) Ta có \(\left( {{x^3} + 2{x^2} - 3x} \right) - \left( {{x^2} + 3x} \right) = {x^3} + {x^2} - 6x = x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ { - 3;0} \right]\).
Diện tích cần tìm là
\(S = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {\left( {{x^3} + 2{x^2} - 3x} \right) - \left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {\left( {{x^3} + 2{x^2} - 3x} \right) - \left( {{x^2} + 3x} \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 6x} \right)dx} \)
\({\rm{ }} = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2}} \right)} \right|_{ - 3}^0 = \frac{{63}}{4}\).
Bài 4.22 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bài 4.22 thường yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một ví dụ cụ thể. Giả sử bài tập yêu cầu chúng ta tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x + 1.
Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm:
x1 = (6 + √12) / 6 = 1 + √3 / 3
x2 = (6 - √12) / 6 = 1 - √3 / 3
Bước 3: Xác định loại điểm cực trị
Để xác định loại điểm cực trị, ta xét dấu của đạo hàm cấp hai f''(x).
f''(x) = 6x - 6
Tại x1 = 1 + √3 / 3, f''(x1) = 6(1 + √3 / 3) - 6 = 2√3 > 0, do đó x1 là điểm cực tiểu.
Tại x2 = 1 - √3 / 3, f''(x2) = 6(1 - √3 / 3) - 6 = -2√3 < 0, do đó x2 là điểm cực đại.
Khi giải bài tập về đạo hàm, các em học sinh cần lưu ý những điều sau:
Giaitoan.edu.vn là một website học Toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giảng, bài tập và lời giải chi tiết cho các môn Toán từ lớp 6 đến lớp 12. Chúng tôi luôn cố gắng mang đến cho học sinh những trải nghiệm học tập tốt nhất, giúp các em học Toán một cách hiệu quả và thú vị.
Bài 4.22 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
