Bài 1.45 trang 32 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.45 trang 32, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích (V) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.
Đề bài
Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích \(V\) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Đặt độ dài đáy của thùng là \(r\).
+ Biểu diễn chiều cao theo \(r\), từ đó thu được công thức diện tích của thùng \(S\).
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\).
Lời giải chi tiết
Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là \(r\), \(r > 0\). Khi đó diện tích một đáy hình trụ là \(\pi {r^2}\).
Suy ra chiều cao của hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).
Do đó diện tích bề mặt hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r\frac{V}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\)
Xét hàm số \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r},r > 0\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(S\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(S' = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\) khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}} = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), ta thấy chiều cao hình trụ khi đó là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{V}{{\left( {\pi \cdot \frac{{{V^{\frac{2}{3}}}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^{\frac{2}{3}}}}}} \right)}} = \frac{V}{{\frac{{\sqrt[3]{\pi }}}{{\sqrt[3]{4}}} \cdot {V^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{{\sqrt[3]{V} \cdot \sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{\pi }}} = \frac{{2\sqrt[3]{V}}}{{\sqrt[3]{{2\pi }}}} = 2r\).
Vậy để vật liệu sản xuất thùng ít nhất thì chiều cao gấp đôi bán kính đáy (điều phải chứng minh).
Bài 1.45 trang 32 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Dưới đây là đề bài và lời giải chi tiết bài 1.45 trang 32 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức:
Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
f'(x) = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Giải thích chi tiết:
Để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Trong bài toán này, ta đã tìm được hai điểm nghi ngờ là điểm cực trị là x = 0 và x = 2. Bằng cách lập bảng xét dấu f'(x), ta thấy rằng:
Từ đó, ta kết luận rằng hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.
Khi giải các bài toán về đạo hàm, học sinh cần chú ý các quy tắc tính đạo hàm và các điều kiện để hàm số có cực trị. Ngoài ra, việc lập bảng xét dấu f'(x) là một bước quan trọng để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và kết luận các điểm cực trị.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 1.45 trang 32 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để tham khảo thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác.
