Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 1.63 trang 36 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {2m - 3} right)x + frac{2}{3}). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2). b) Tìm (m) để hàm số có hai điểm cực trị ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 5). c) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên (mathbb{R}). d) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } right)).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + \frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
b) Tìm \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Thay \(m = 2\) và hàm số sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,
Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, tìm điều kiện để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\), sử dụng định lý Viète mà một số biến đổi cơ bản để giải ra m.
Ý c: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\). Sử dụng kiến thức về dấu, nghiệm của tam thức bậc hai để làm.
Ý d: Kết hợp với bảng biến thiên để giải bài toán, lưu ý xét hết các trường hợp.
Lời giải chi tiết
a) Khi \(m = 2\) hàm số trở thành \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x + \frac{2}{3}\).
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
+ Sự biến thiên:
Ta có \(y' = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Để hàm số có hai cực trị thì đạo hàm \(y'\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\), tức là \(3 - 2m \ne - 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)
Để \(x_1^2 + x_2^2 = 5\) thì \({\left( {3 - 2m} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow m \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right\}\).
c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Ta có \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 - 2m = - 1 \Leftrightarrow m = 2\).
d) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Trường hợp 1: \( - 1 \le 3 - 2m \Leftrightarrow m \le 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(3 - 2m \le 1 \Leftrightarrow m \ge 1\). Suy ra \(1 \le m < 2\)
Trường hợp 2: \(3 - 2m < - 1 \Leftrightarrow m > 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên trường hợp này ta có \(m > 2\).
Vậy \(m \ge 1\).
Bài 1.63 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài 1.63:
Trước khi bắt đầu giải bài, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Bài 1.63 thường yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm hoặc tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm. Đề bài cũng có thể yêu cầu sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa hoặc khảo sát hàm số.
Để giải bài 1.63, bạn cần nắm vững các công thức và kiến thức sau:
(Nội dung lời giải chi tiết bài 1.63 sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải cụ thể, giải thích rõ ràng và ví dụ minh họa. Ví dụ:)
Ví dụ: Giả sử bài 1.63 yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x - 1 tại x = 1.
Ngoài bài 1.63, còn rất nhiều bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Các bài tập này thường yêu cầu:
Để giải bài tập đạo hàm hiệu quả, bạn nên:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Bài 1.63 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
Lưu ý: Nội dung lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa có thể thay đổi tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài 1.63 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức.
