Giải bài 2.37 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 2.37 trang 56 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

• Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là gì và cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
• Các quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp, và các hàm số cơ bản như hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác.
• Ứng dụng đạo hàm: Biết cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, khảo sát sự biến thiên của hàm số, và giải các bài toán tối ưu.

Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x và xác định các điểm cực trị của hàm số)

Lời giải:

1. Tính đạo hàm f'(x): Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng và lũy thừa, ta có: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
2. Tìm các điểm cực trị: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0: 3x^2 - 6x + 2 = 0. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm: x1 = (3 + √3) / 3 và x2 = (3 - √3) / 3
3. Xác định loại cực trị: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định loại cực trị. Ta có: f''(x) = 6x - 6.
• Tại x1 = (3 + √3) / 3, f''(x1) = 6((3 + √3) / 3) - 6 = 2√3 > 0, do đó x1 là điểm cực tiểu.
• Tại x2 = (3 - √3) / 3, f''(x2) = 6((3 - √3) / 3) - 6 = -2√3 < 0, do đó x2 là điểm cực đại.
4. Kết luận: Hàm số f(x) có điểm cực đại tại x2 = (3 - √3) / 3 và điểm cực tiểu tại x1 = (3 + √3) / 3.

Lưu ý:

Trong quá trình giải bài toán, cần chú ý các bước sau:

• Kiểm tra kỹ các quy tắc tính đạo hàm trước khi áp dụng.
• Giải phương trình đạo hàm một cách chính xác.
• Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai để xác định đúng loại cực trị.

Mở rộng:

Bài toán 2.37 trang 56 còn có thể được mở rộng bằng cách yêu cầu học sinh:

• Vẽ đồ thị của hàm số f(x) và xác định các điểm cực trị trên đồ thị.
• Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu liên quan đến hàm số f(x).

Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán 2.37 trang 56 sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải các bài toán đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong các kỳ thi Toán 12.

Giaitoan.edu.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán và có thể tự giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!

Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác. Giả sử chúng ta có hàm số g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2. Hãy tìm đạo hàm g'(x) và xác định các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải:

1. Tính đạo hàm g'(x): g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x
2. Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình g'(x) = 0: 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0. Ta có thể phân tích phương trình thành: 4x(x^2 - 3x + 2) = 0. Từ đó, ta tìm được các nghiệm: x = 0, x = 1, x = 2.
3. Xác định loại cực trị: Tính đạo hàm cấp hai g''(x) = 12x^2 - 24x + 8.
• Tại x = 0, g''(0) = 8 > 0, do đó x = 0 là điểm cực tiểu.
• Tại x = 1, g''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0, do đó x = 1 là điểm cực đại.
• Tại x = 2, g''(2) = 12(4) - 24(2) + 8 = 8 > 0, do đó x = 2 là điểm cực tiểu.
4. Kết luận: Hàm số g(x) có điểm cực đại tại x = 1 và hai điểm cực tiểu tại x = 0 và x = 2.