Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và nâng cao về tọa độ của vecto, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Chúng tôi tại giaitoan.edu.vn cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến tốt nhất với nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành.
A. Lý thuyết 1. Tọa độ của một điểm
A. Lý thuyết
1. Tọa độ của một điểm
Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau: + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M. + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M. Cặp số (a;b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta ký hiệu là M(a;b). |
2. Tọa độ của một vecto
| Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \). |
\(\overrightarrow {OM} = (a;b)\) thì a là hoành độ, b là tung độ của \(\overrightarrow {OM} \).
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
+ \(\overrightarrow {OM} = (a;b) \Leftrightarrow M(a;b)\).
+ Vecto \(\overrightarrow i (1;0)\), \(\overrightarrow j (0;1)\) có điểm gốc O lần lượt là các vecto đơn vị trên trục Ox, Oy.
| Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vecto \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \). |
Ta có định lí sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu \(\overrightarrow u = (a;b)\) thì \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \). Ngược lại, nếu \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u = (a;b)\). |
Chú ý: Với \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2})\), ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\).
Như vậy, mỗi vecto hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.
3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vecto
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\). |
B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M, N, P, Q. Tìm tọa độ các vecto \(\overrightarrow {OM} \),\(\overrightarrow {ON} \), \(\overrightarrow {OP} \), \(\overrightarrow {OQ} \).
Giải:
Từ hình vẽ, ta có: M(-4;3), N(3;0), P(5;-2), Q(0;-3).
Do đó: \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3)\), \(\overrightarrow {ON} = (3;0)\), \(\overrightarrow {OP} = (5; - 2)\), \(\overrightarrow {OQ} = (0; - 3)\).
Bài 2: Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) trong hình.
Giải:
Ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \) và A(2;2); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm A nên \(\overrightarrow a = (2;2)\).
\(\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} \) và A(1;-3); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ điểm B nên \(\overrightarrow b = (1; - 3)\).
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2) và vecto \(\overrightarrow u = (3; - 4)\).
a) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow u \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OA} \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
Giải:
a) Vì \(\overrightarrow u = (3; - 4)\) nên \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + ( - 4)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
b) Vì điểm A có tọa độ là (1;2) nên \(\overrightarrow {OA} = (1;2)\). Do đó:
\(\overrightarrow {OA} = 1\overrightarrow i + 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1;1), B(4;3), C(-1;-2).
a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \).
b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4 - 1;3 - 1)\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = (3;2)\).
b) Gọi tọa độ của điểm D là \(({x_D};{y_D})\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = ( - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D})\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = (3;2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_D} = 3\\ - 2 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = - 4\end{array} \right.\).
Vậy D(-4;-4).
Trong chương trình Toán 10, phần tọa độ của vecto đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng cho các kiến thức hình học giải tích ở các lớp trên. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết tọa độ của vecto theo sách giáo khoa Toán 10 Cánh diều, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp học sinh hiểu sâu sắc và nắm vững kiến thức.
Trước khi đi vào phần tọa độ, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản về vectơ:
Hệ tọa độ Oxy là một hệ tọa độ vuông góc bao gồm hai trục vuông góc nhau: trục hoành Ox và trục tung Oy. Giao điểm của hai trục là gốc tọa độ O.
Mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một cặp số (x; y), gọi là tọa độ của điểm M. x là hoành độ, y là tung độ.
Cho vectơ a = MN, với M(xM; yM) và N(xN; yN). Tọa độ của vectơ a được ký hiệu là a = (xN - xM; yN - yM).
Như vậy, để xác định tọa độ của một vectơ, ta chỉ cần biết tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của nó.
Khi biểu diễn vectơ bằng tọa độ, các phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một số thực được thực hiện như sau:
Tọa độ vectơ được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chứng minh các đẳng thức vectơ, tìm tọa độ của các điểm đặc biệt trong hình, và tính diện tích các hình.
Bài 1: Cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2).
Bài 2: Cho a = (1; -2) và b = (3; 1). Tính a + b và 2a.
Giải:a + b = (1 + 3; -2 + 1) = (4; -1). 2a = (2 * 1; 2 * -2) = (2; -4).
Lý thuyết tọa độ của vectơ là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến tọa độ vectơ sẽ giúp học sinh học tốt môn Toán 10 và chuẩn bị cho các kiến thức nâng cao ở các lớp trên. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn hiểu sâu sắc hơn về chủ đề này.
