Bài học này cung cấp lý thuyết đầy đủ và chi tiết về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm, thuộc chương trình SGK Toán 10 Cánh diều. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về trung bình cộng, trung vị và mốt, những công cụ quan trọng trong thống kê.
Nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế và hiểu sâu hơn về cách phân tích dữ liệu.
A. Lý thuyết 1. Số trung bình cộng (số trung bình) a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Số trung bình cộng (số trung bình)
a) Định nghĩa
| Số trung bình cộng của một mẫu n số liệu thống kê bằng tổng của các số liệu chia cho số các số liệu đó. Số trung bình cộng \(\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\). |
b) Ý nghĩa
Khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng, ta có thể giải quyết được vấn đề trên bằng cách lấy số trung bình cộng làm đại diện cho mẫu số liệu.
2. Trung vị
a) Định nghĩa
Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm (hoặc không tăng). - Nếu n là số lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\) (số đứng chính giữa) gọi là trung vị. - Nếu n là số chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí \(\frac{n}{2}\) và \(\frac{n}{2} + 1\) gọi là trung vị. Trung vị kí hiệu là \({M_e}\). |
Nhận xét:
- Trung vị không nhất thiết là một số trong mẫu số liệu và để tính toán.
- Khi các số liệu trong mẫu không có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng và trung vị xấp xỉ nhau.
b) Ý nghĩa
Nếu những số liệu trong mẫu có sự chênh lệch lớn thì ta nên chọn thêm trung vị làm đại diện cho mẫu số liệu đó nhằm điều chỉnh một số hạn chế khi sử dụng số trung bình cộng. Những kết luận về đối tượng thống kê rút ra khi đó sẽ tin cậy hơn.
3. Tứ phân vị
a) Định nghĩa
Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm. Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị: tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau. - Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) bằng trung vị. - Nếu n là số chẵn thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên. - Nếu n là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bao gồm \({Q_2}\)) và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên (không bao gồm \({Q_2}\)). |
Minh họa tứ phân vị của mẫu số liệu gồm 11 số liệu trên trục số:
b) Ý nghĩa
- Trong thực tiễn, có những mẫu số liệu mà nhiều số liệu trong mẫu đó vẫn còn sự chênh lệch lớn so với trung vị. Ta nên chọn thêm những số khác cùng làm đại diện cho mẫu đó. Bằng cách lấy thêm trung vị của từng dây số liệu tách ra bởi trung vị của mẫu nói trên, ta nhận được tứ phân vị đại diện cho mẫu số liệu đó.
- Bộ ba giá trị \({Q_1}\), \({Q_2}\), \({Q_3}\) trong tứ phân vị phản ánh độ phân tán của mẫu số liệu. Nhưng mỗi giá trị \({Q_1}\), \({Q_2}\), \({Q_3}\) lại đo xu thế trung tâm của phần số liệu tương ứng của mẫu đó.
4. Mốt
a) Định nghĩa
| Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số và kí hiệu là \({M_o}\). |
Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có một hoặc nhiều mốt.
b) Ý nghĩa
Mốt của một mẫu số liệu đặc trưng cho số lặp đi lặp lại nhiều nhất tại một vị trí của mẫu số liệu đó. Dựa vào mốt, ta có thể đưa ra những kết luận (có ích) về đối tượng thống kê.
5. Tính hợp lí của số liệu thống kê
Dựa vào trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu, bước đầu ta có thể thấy những số liệu bất thường trong mẫu số liệu.
Trong thực tiễn, những số liệu bất thường của mẫu số liệu được xác định bằng những công cụ toán học sâu sắc hơn.
B. Bài tập
Bài 1: Kết quả 4 lần kiểm tra môn Toán của bạn Hoa là: 7, 9, 8, 9. Tính số trung bình cộng \(\overline x \) của mẫu số liệu trên.
Giải:
Số trung bình cộng \(\overline x \) của mẫu số liệu trên là:
\(\overline x = \frac{{7 + 9 + 8 + 9}}{4} = 8,25\).
Bài 2: Thời gian (tính theo phút) mà 10 người đợi ở bến xe buýt là:
2,8 1,2 3,4 14,6 1,3 2,5 4,2 1,9 3,5 0,8
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Giải:
Sắp xếp các số liệu của mẫu trên theo thứ tự không giảm:
0,8 1,2 1,3 1,9 2,5 2,8 3,4 3,5 4,2 14,6
Mẫu số liệu trên có 10 số. Số thứ năm và số thứ sáu lần lượt là 2,5 và 2,8.
Vì vậy \({M_e} = \frac{{2,5 + 2,8}}{2} = 2,65\) (phút).
Bài 3: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:
21 35 17 43 8 59 72 119
Biểu diễn tứ phân vị đó trên trục số.
Giải:
Mẫu số liệu trên được sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:
8 17 21 35 43 59 72 119
Trung vị của mẫu số liệu trên là: \(\frac{{35 + 43}}{2} = 39\).
Trung vị của dãy 8, 17, 21, 35 là: \(\frac{{17 + 21}}{2} = 19\).
Trung vị của dãy 43, 59, 72, 119 là: \(\frac{{59 + 72}}{2} = 65,5\).
Vậy \({Q_1} = 19\), \({Q_2} = 39\), \({Q_3} = 65,5\).
Tứ phân vị đó được biểu diễn trên trục số như sau:
Bài 4: Bác Tâm khai trương cửa hàng bán áo sơ mi nam. Số áo cửa hàng đã bán ra trong tháng đầu tiên được thống kê trong bảng tần số sau:
Mốt trong bảng tần số là bao nhiêu?
Giải:
Vì tần số lớn nhất là 81 và 81 tương ứng với cỡ áo 40 nên mốt của bảng trên là 40.
Trong thống kê, các số đặc trưng đo xu thế trung tâm đóng vai trò quan trọng trong việc tóm tắt và mô tả một tập dữ liệu. Chúng giúp chúng ta xác định giá trị điển hình hoặc trung tâm của dữ liệu đó. Đối với mẫu số liệu không ghép nhóm, có ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm phổ biến nhất là trung bình cộng, trung vị và mốt.
Trung bình cộng là tổng của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu chia cho số lượng giá trị. Công thức tính trung bình cộng (x̄) như sau:
x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n
Trong đó:
Trung bình cộng là một thước đo phổ biến và dễ tính toán, nhưng nó có thể bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ (outliers).
Trung vị là giá trị nằm ở giữa mẫu số liệu khi các giá trị được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng giá trị trong mẫu số liệu là lẻ, trung vị là giá trị ở vị trí (n+1)/2. Nếu số lượng giá trị là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí n/2 và (n/2)+1.
Ví dụ:
Trung vị ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn so với trung bình cộng.
Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Một mẫu số liệu có thể có một mốt (unimodal), nhiều mốt (multimodal) hoặc không có mốt nào (nếu tất cả các giá trị đều xuất hiện với tần số bằng nhau).
Ví dụ:
Mốt thường được sử dụng để xác định giá trị phổ biến nhất trong một tập dữ liệu.
Mỗi số đặc trưng đo xu thế trung tâm đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Việc lựa chọn số đặc trưng nào phù hợp nhất phụ thuộc vào bản chất của dữ liệu và mục đích phân tích.
Dưới đây là bảng so sánh:
| Số đặc trưng | Ưu điểm | Nhược điểm |
|---|---|---|
| Trung bình cộng | Dễ tính toán, sử dụng tất cả các giá trị trong mẫu số liệu | Bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ |
| Trung vị | Ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ | Không sử dụng tất cả các giá trị trong mẫu số liệu |
| Mốt | Dễ xác định, phù hợp với dữ liệu định tính | Có thể không tồn tại hoặc có nhiều mốt |
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết này, hãy làm các bài tập trong SGK Toán 10 Cánh diều. Các bài tập này sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng tính toán và áp dụng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm vào các tình huống thực tế.
Lý thuyết về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là một phần quan trọng của thống kê. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn phân tích dữ liệu một cách hiệu quả và đưa ra những kết luận chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng của mình.
