Bài học về tổng và hiệu của hai vecto là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều.
Nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến vecto một cách dễ dàng và hiệu quả.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lý thuyết chi tiết, bài tập minh họa và các ví dụ thực tế để bạn hiểu sâu sắc về chủ đề này.
A. Lý thuyết 1. Tổng của hai vecto a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Tổng của hai vecto
a) Định nghĩa
| Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \). |
Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.
b) Quy tắc hình bình hành
| Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). |
c) Tính chất
Với ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý ta có: - Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \) - Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\) - Tính chất của vecto-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a \) |
2. Hiệu của hai vecto
a) Hai vecto đối nhau
| Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) được gọi là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \). Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) được gọi là hai vecto đối nhau. |
Quy ước: Vecto đối của vecto \(\overrightarrow 0 \) là vecto \(\overrightarrow 0 \).
Nhận xét:
+) \(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a \).
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
+) Với hai điểm A, B, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \).
| Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \) là hai vecto đối nhau, tức là \(\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \). |
Chú ý:
+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). +) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). |
b) Hiệu của hai vecto
| Hiệu của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto \(\overrightarrow b \) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \). |
Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.
Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM} \).
Giải:
Vì \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} \).
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Giải:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)
\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).
Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow 0 \).
Trong chương trình Toán 10, phần vectơ đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho các kiến thức hình học và đại số tiếp theo. Một trong những khái niệm cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán là tổng và hiệu của hai vectơ. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về tổng và hiệu của hai vectơ theo chương trình SGK Toán 10 Cánh diều, kèm theo các ví dụ minh họa để giúp học sinh hiểu rõ hơn.
Trước khi đi vào phần tổng và hiệu, chúng ta cần ôn lại khái niệm vectơ. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Tổng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a + b, là một vectơ được xác định theo quy tắc hình bình hành. Quy tắc hình bình hành như sau:
Ngoài ra, tổng của hai vectơ cũng có thể được tính bằng quy tắc tam giác:
Hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a - b, là một vectơ được xác định như sau:
a - b = a + (-b), trong đó -b là vectơ đối của b.
Vectơ đối của b là vectơ có cùng độ dài và cùng phương với b nhưng ngược hướng.
Hiệu của hai vectơ cũng có thể được tính bằng quy tắc hình bình hành:
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 3 và 4, và góc giữa chúng là 60 độ. Tính độ dài của vectơ a + b.
Giải:
Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ tổng:
|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cos(60°)
|a + b|^2 = 3^2 + 4^2 + 2 * 3 * 4 * 0.5 = 9 + 16 + 12 = 37
|a + b| = √37
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB + MC = 0.
Giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có MB = MC. Do đó, MB + MC = 2MC.
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có MA + MB = AB. Suy ra MA + MB + MC = AB + MC.
Tuy nhiên, cách tiếp cận này không dẫn đến kết quả 0. Cách giải đúng là:
MA + MB + MC = MA + MB + MB = MA + 2MB. Điều này vẫn không bằng 0. Cần xem lại đề bài hoặc cách hiểu về vị trí của M.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết tổng và hiệu của hai vectơ trong chương trình SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
