Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong sách giáo khoa Cánh diều. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải loại bất phương trình này là nền tảng để học tốt các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Định nghĩa Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng:

ax + by < c (hoặc ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by ≥ c)Trong đó:

• x và y là hai ẩn số.
• a và b là các hệ số, không đồng thời bằng 0.
• c là một số thực.

2. Tập nghiệm của Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn bất phương trình.

Để biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng ax + by = c. Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Tập nghiệm của bất phương trình là một nửa mặt phẳng (bao gồm cả đường thẳng nếu bất phương trình có dấu “≤” hoặc “≥”).

3. Quy tắc xét dấu

Để xác định nửa mặt phẳng là tập nghiệm, ta có thể sử dụng quy tắc xét dấu:

1. Chọn một điểm không thuộc đường thẳng ax + by = c (ví dụ: (0; 0)).
2. Thay tọa độ điểm đó vào bất phương trình.
3. Nếu bất phương trình đúng, thì nửa mặt phẳng chứa điểm đó là tập nghiệm.
4. Nếu bất phương trình sai, thì nửa mặt phẳng không chứa điểm đó là tập nghiệm.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x + y ≤ 4

Bước 1: Vẽ đường thẳng 2x + y = 4. Đường thẳng này đi qua các điểm (2; 0) và (0; 4).

Bước 2: Chọn điểm (0; 0) để xét dấu. Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình, ta được 2(0) + 0 ≤ 4, tức là 0 ≤ 4. Bất phương trình đúng.

Bước 3: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 0), bao gồm cả đường thẳng 2x + y = 4.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình x - 3y > 2

Bước 1: Vẽ đường thẳng x - 3y = 2. Đường thẳng này đi qua các điểm (2; 0) và (-1; -1).

Bước 2: Chọn điểm (0; 0) để xét dấu. Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình, ta được 0 - 3(0) > 2, tức là 0 > 2. Bất phương trình sai.

Bước 3: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm (0; 0), không bao gồm đường thẳng x - 3y = 2.

5. Ứng dụng của Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Giải các bài toán về tối ưu hóa (ví dụ: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số).
• Giải các bài toán về lập kế hoạch (ví dụ: xác định lượng hàng hóa cần sản xuất để đạt được lợi nhuận tối đa).
• Mô tả các ràng buộc trong các bài toán thực tế.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Giải bất phương trình 3x + 2y < 6.
2. Giải bất phương trình x - y ≥ 1.
3. Giải bất phương trình 2x + 3y ≤ -1.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tốt!