Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về Ba đường conic trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Đây là một chủ đề quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức hình học phân tích nâng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, định nghĩa và tính chất của elip, hypebol và parabol.
A. Lý thuyết 1. Elip a) Định nghĩa elip
A. Lý thuyết
1. Elip
a) Định nghĩa elip
| Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a > c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của elip đó. |
b) Phương trình chính tắc của elip
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0. Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a. |
2. Hypebol
a) Định nghĩa hypebol
| Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực dương a < c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó. |
b) Phương trình chính tắc của hypebol
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0. Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a. |
3. Parabol
a) Định nghĩa parabol
| Cho một điểm F cố định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó. |
b) Phương trình chính tắc của parabol
Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) (với p > 0). Ngược lại, mỗi phương trình trên là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(x + \frac{p}{2} = 0\). |
4. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic
Ba đường conic có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Ta nêu ra một vài ứng dụng của ba đường conic.
- Năm 1911, nhà vật lý học người Anh là Ernest Rutherford (1871 – 1937) đã đề xuất mô hình hành tinh nguyên tử, trong đó hạt nhân nhỏ bé nằm tại tâm của nguyên tử, còn các electron bay quanh hạt nhân trên các quỹ đạo hình elip như các hành tinh bay quanh Mặt Trời.
- Trong vật lý, hiện tượng hai sóng gặp nhau tạo nên các gọn sóng ổn định gọi là hiện tượng giao thoa của hai sóng. Các gọn sóng có hình các đường hyperbol gọi là các vân giao thoa.
- Với gương parabol, tia sáng phát ra từ tiêu điểm (tia tối) chiếu đến một điểm của parabol sẽ bị hất lại (tia phản xạ) theo một tia song song (hoặc trùng) với trục của parabol.
Tính chất trên có nhiều ứng dụng, chẳng hạn:
- Đèn pha: Bề mặt của đèn pha là một mặt tròn xoay sinh bởi một cung parabol quay quanh trục của nó, bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol đó. Các tia sáng phát ra từ bóng đèn khi chiếu đến bề mặt của đèn pha sẽ bị hất lại theo các tia sáng song song, cho phép chúng ta quan sát được các vật ở xa.
- Chảo vệ tinh cũng có dạng như đèn pha. Điểm thu và phát tín hiệu của máy được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol.
B. Bài tập
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip?
a) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = - 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
Giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của elip.
Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hypebol?
a) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = - 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
Giải:
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0 nên các trường hợp b), c), d) là phương trình chính tắc của hypebol.
Bài 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?
a) \({y^2} = - 6x\)
b) \({y^2} = 6x\)
c) \({y^2} = - 6y\)
d) \({y^2} = 6y\)
Giải:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\), với p > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của parabol.
Bài 4: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.
Giải:
Ta có: \({a^2} = 25\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 3;0)\), \({F_2}(3;0)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25} = 5\) nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a = 10.
Bài 5: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có: \({a^2} = 9\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 5;0)\), \({F_2}(5;0)\) và tiêu cự là \(2c = 10\). Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2a = 2\sqrt 9 = 6\).
Bài 6: Cho parabol (P): \({y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải:
a) Ta có \(2p = 1\) nên \(p = \frac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\).
b) Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3. Do \(MF = d(M,\Delta )\) nên \(d(M,\Delta ) = 3\).
Mặt khác \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}\).
Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán với tọa độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
Bài 7: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là \({F_2}(5;0)\) và đi qua điểm M(0;3).
Giải:
Elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).
Do \({F_2}(5;0)\) là một tiêu điểm của (E) nên c = 5.
Điểm M(0;3) nằm trên (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({b^2} = 9\).
Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 9 + 25 = 34\).
Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Bài 8: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là \({F_2}(6;0)\) và đi qua điểm A(4;0).
Giải:
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > 0, b > 0).
Do \({F_2}(6;0)\) là một tiêu điểm của (H) nên c = 6.
Điểm A(4;0) nằm trên (H) nên \(\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({a^2} = 16\).
Suy ra \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {6^2} - 16 = 20\).
Vậy hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
Bài 9: Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết:
a) (P) có tiêu điểm là F(5;0).
b) (P) đi qua điểm M(2;1).
Giải:
Parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 2px\) (p > 0).
a) Do F(5;0) là tiêu điểm của (P) nên \(\frac{p}{2} = 5\), tức là p = 10.
Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 20x\).
b) M(2;1) nằm trên (P) nên \({1^2} = 2p.2\), tức \(p = \frac{1}{4}\).
Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = \frac{x}{2}\).
Ba đường conic, bao gồm elip, hypebol và parabol, là những đường cong quan trọng trong hình học, xuất hiện rộng rãi trong các ứng dụng thực tế như quỹ đạo của các hành tinh, thiết kế kiến trúc và kỹ thuật.
Định nghĩa: Elip là tập hợp tất cả các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (gọi là tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).
Các yếu tố của elip:
Phương trình chính tắc của elip: x2/a2 + y2/b2 = 1 (với a > b)
Định nghĩa: Hypebol là tập hợp tất cả các điểm M sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (gọi là tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).
Các yếu tố của hypebol:
Phương trình chính tắc của hypebol: x2/a2 - y2/b2 = 1
Định nghĩa: Parabol là tập hợp tất cả các điểm M cách đều một điểm cố định F (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng cố định Δ (gọi là đường chuẩn).
Các yếu tố của parabol:
Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px
Việc hiểu rõ mối quan hệ giữa các yếu tố như tiêu điểm, trục, tâm sai, và phương trình chính tắc là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đường conic.
Ba đường conic có nhiều ứng dụng trong thực tế:
Ví dụ 1: Xác định các yếu tố của elip có phương trình x2/9 + y2/4 = 1.
Giải:
Ví dụ 2: Tìm phương trình của parabol có tiêu điểm F(2, 0) và đường chuẩn x = -2.
Giải:
Phương trình chính tắc của parabol là y2 = 4px, với p là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn. Trong trường hợp này, p = 2 - (-2) = 4. Vậy phương trình của parabol là y2 = 16x.
Để nắm vững kiến thức về ba đường conic, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 10 Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết ba đường conic. Chúc bạn học tập tốt!
