Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 10 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục II trang 96, 97, 98 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc
Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \({F_1},{F_2}\) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài \(l\) thoả mãn\(AB--{F_1}{F_2}{\rm{ }} < l < AB\) . Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào \({F_2}\). Đặt thước sao cho điểm B trùng với \({F_1}\), và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc\(AM{F_2}\) , Cho thước quay quanh điểm B (trùng \({F_1}\)), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu\(M{F_1} - M{F_2}\) ?
Lời giải chi tiết:
Khi M thay đổi, hiệu \(M{F_1} - M{F_2} = \left( {M{F_1} + MA} \right) - \left( {M{F_2} + MA} \right) = AB - l{\rm{ }}\)không đổi.
Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1\)
Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \({F_1},{F_2}\) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài \(l\) thoả mãn\(AB--{F_1}{F_2}{\rm{ }} < l < AB\) . Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào \({F_2}\). Đặt thước sao cho điểm B trùng với \({F_1}\), và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc\(AM{F_2}\) , Cho thước quay quanh điểm B (trùng \({F_1}\)), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu\(M{F_1} - M{F_2}\) ?
Lời giải chi tiết:
Khi M thay đổi, hiệu \(M{F_1} - M{F_2} = \left( {M{F_1} + MA} \right) - \left( {M{F_2} + MA} \right) = AB - l{\rm{ }}\)không đổi.
Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c{\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right),\)gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\) (Hình 54).
a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).
b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:
Lời giải chi tiết:
Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1\)
Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c{\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right),\)gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\) (Hình 54).
a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).
b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:
Lời giải chi tiết:
Mục II trong SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập chương và chuẩn bị cho kiểm tra cuối kỳ. Các bài tập trong mục này thường bao gồm các dạng bài tập tổng hợp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học trong chương. Việc giải đúng và hiểu rõ các bài tập này là rất quan trọng để nắm vững kiến thức và tự tin làm bài kiểm tra.
Bài 1 thường là các câu hỏi trắc nghiệm và bài tập tự luận về các khái niệm, định lý và phương pháp đã học trong chương. Các em cần nắm vững lý thuyết và biết cách áp dụng vào giải bài tập. Ví dụ, các câu hỏi có thể liên quan đến vectơ, tích vô hướng, ứng dụng của tích vô hướng, phương trình đường thẳng, đường tròn, và các bài toán liên quan đến hình học giải tích.
Bài 2 thường là các bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức khác nhau. Các em cần phân tích kỹ đề bài, xác định kiến thức cần sử dụng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Ví dụ, một bài tập có thể yêu cầu tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác, hoặc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Bài 3 thường là các bài tập khó hơn, đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề. Các em cần suy nghĩ kỹ lưỡng, tìm tòi các phương pháp giải mới và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Ví dụ, một bài tập có thể yêu cầu chứng minh một đẳng thức hình học, hoặc giải một bài toán tối ưu.
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cho một số bài tập tiêu biểu trong mục II:
Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
Áp dụng công thức tính tích vô hướng: a ⋅ b = x1x2 + y1y2
Thay các giá trị vào công thức: a ⋅ b = (1)(-3) + (2)(4) = -3 + 8 = 5
Vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là 5.
Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; -2) và có hệ số góc m = 3.
Sử dụng công thức phương trình đường thẳng: y - y0 = m(x - x0)
Thay các giá trị vào công thức: y - (-2) = 3(x - 1)
Rút gọn phương trình: y + 2 = 3x - 3 => 3x - y - 5 = 0
Vậy, phương trình đường thẳng cần tìm là 3x - y - 5 = 0.
Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Vẽ hình minh họa (nếu cần thiết) để giúp hiểu rõ bài toán.
Lựa chọn phương pháp giải phù hợp và áp dụng các kiến thức đã học.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Tham khảo các nguồn tài liệu khác (sách giáo khoa, sách bài tập, internet) để tìm hiểu thêm về các kiến thức liên quan.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải các bài tập trong mục II trang 96, 97, 98 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
