Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = 2{x^3} - 6x + 3) trên đoạn (left[ { - 1;2} right]); b) (y = {x^4} - 3{x^2} + 2) trên đoạn (left[ {0;3} right]); c) (y = x - sin 2x) trên đoạn (left[ {0;pi } right]); d) (y = left( {{x^2} - x} right){e^x}) trên đoạn (left[ {0;1} right]).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} - 6x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);
b) \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);
c) \(y = x - \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\);
d) \(y = \left( {{x^2} - x} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6,y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (thỏa mãn)
\(y\left( { - 1} \right) = 7, y\left( 1 \right) = - 1, y\left( 2 \right) = 7\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = y\left( { - 1} \right) = 7,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = - 1\)
b) Ta có: \(y' = 4{x^3} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;3} \right]\))
\(y\left( 0 \right) = 2;y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{4};y\left( 3 \right) = 56\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 56,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{4}\)
c) Ta có: \(y' = 1 - 2\cos 2x,y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\)
\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( \pi \right) = \pi \)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2},\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
d) \(y' = \left( {2x - 1} \right){e^x} + \left( {{x^2} - x} \right){e^x} = {e^x}\left( {{x^2} + x - 1} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;1} \right]\))
\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 - \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}};y\left( 1 \right) = 0\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 - \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}}\)
Bài tập 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này thường liên quan đến việc xác định tính đơn điệu của hàm số, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững kiến thức về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và các phương pháp xét dấu đạo hàm.
Giả sử bài tập 1.12 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Giaitoan.edu.vn cung cấp nhiều bài tập giải chi tiết khác, hãy truy cập để học tập và nâng cao kiến thức của bạn.
Bài tập 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự.
