Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 1 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3, trang 28, 29 và 30 của sách giáo khoa Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với \(x \ge 1\).
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là \(C\left( x \right) = 2x + 45\) (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/ sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x + 45}}{x}\)
Vì \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 45}}{{{x^2}}} < 0\) với mọi \(x \ge 1\) nên hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) là hàm số giảm.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 45}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{{45}}{x}}}{1} = 2\)
Do đó, chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn 2 triệu đồng/ sản phẩm.
Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\) và đi xuống trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.
b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với \(t \ge 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết:
a) Thể tích nước trong bể sau t phút là: \(200 + 40t\) (l).
Khối lượng chất khử trùng trong bể sau t phút là: \(20t\) (g).
Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: \(\frac{{20t}}{{40t + 200}}\)(gam/lít).
b) Hàm số về nồng độ chất khử trùng là: \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\).
1. Tập xác định của hàm số: \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{{{\left( {40t + 200} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \ge 0\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{20t}}{{40t + 200}} = \frac{1}{2}\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}}\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).
Đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\) là phần màu xanh không bị gạch chéo.
c) Vì \(f'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{{{\left( {40t + 200} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \frac{1}{2}\) nên nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/ lít.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết:
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\)
\(y' = - 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 2\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = - x + 1\) làm tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm\(\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {2; - 1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với \(x \ge 1\).
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là \(C\left( x \right) = 2x + 45\) (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/ sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x + 45}}{x}\)
Vì \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 45}}{{{x^2}}} < 0\) với mọi \(x \ge 1\) nên hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) là hàm số giảm.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 45}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{{45}}{x}}}{1} = 2\)
Do đó, chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn 2 triệu đồng/ sản phẩm.
Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\) và đi xuống trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.
b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với \(t \ge 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết:
a) Thể tích nước trong bể sau t phút là: \(200 + 40t\) (l).
Khối lượng chất khử trùng trong bể sau t phút là: \(20t\) (g).
Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: \(\frac{{20t}}{{40t + 200}}\)(gam/lít).
b) Hàm số về nồng độ chất khử trùng là: \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\).
1. Tập xác định của hàm số: \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{{{\left( {40t + 200} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \ge 0\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{20t}}{{40t + 200}} = \frac{1}{2}\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}}\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).
Đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{40t + 200}},t \ge 0\) là phần màu xanh không bị gạch chéo.
c) Vì \(f'\left( t \right) = \frac{{4000}}{{{{\left( {40t + 200} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \frac{1}{2}\) nên nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/ lít.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết:
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\)
\(y' = - 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 2\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = - x + 1\) làm tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm\(\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {2; - 1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Mục 3 của SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là trong việc học tập các kiến thức về đạo hàm và tích phân ở các lớp trên. Việc hiểu rõ về giới hạn hàm số sẽ giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả.
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là limx→a f(x), là giá trị mà hàm số f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn về khái niệm này, chúng ta cần phân biệt giữa giới hạn một bên (giới hạn trái và giới hạn phải) và giới hạn hai bên.
Trong mục 3, học sinh thường gặp các dạng bài tập sau:
Bài 1 (Trang 28): Tính các giới hạn sau: a) limx→2 (x2 + 3x - 1); b) limx→-1 (2x3 - 5x + 2)
Lời giải:
a) limx→2 (x2 + 3x - 1) = 22 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9
b) limx→-1 (2x3 - 5x + 2) = 2(-1)3 - 5(-1) + 2 = -2 + 5 + 2 = 5
Bài 2 (Trang 29): Tính các giới hạn sau: a) limx→3 (x - 3)/(x2 - 9); b) limx→0 sin(x)/x
Lời giải:
a) limx→3 (x - 3)/(x2 - 9) = limx→3 (x - 3)/((x - 3)(x + 3)) = limx→3 1/(x + 3) = 1/(3 + 3) = 1/6
b) limx→0 sin(x)/x = 1 (Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản)
Bài 3 (Trang 30): Cho hàm số f(x) = (x2 - 1)/(x - 1). Tính limx→1 f(x).
Lời giải:
limx→1 f(x) = limx→1 (x2 - 1)/(x - 1) = limx→1 (x - 1)(x + 1)/(x - 1) = limx→1 (x + 1) = 1 + 1 = 2
Hy vọng rằng với những kiến thức và lời giải chi tiết trên, các em học sinh đã có thể tự tin giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao trong môn Toán!
