Bài tập 6.14 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 6.14, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{4}\). Giá trị của P(B) là A. \(\frac{{19}}{{60}}\). B. \(\frac{{17}}{{60}}\). C. \(\frac{9}{{20}}\). D. \(\frac{7}{{30}}\).
Đề bài
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{4}\).Giá trị của P(B) làA. \(\frac{{19}}{{60}}\).B. \(\frac{{17}}{{60}}\).C. \(\frac{9}{{20}}\).D. \(\frac{7}{{30}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về hai biến cố xung khắc: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Lời giải chi tiết
Vì AB và \(\overline A B\) là hai biến cố xung khắc và \(\overline A B \cup AB = B\)
Do đó, \(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A B} \right) = \frac{2}{{15}} + \frac{3}{{20}} = \frac{{17}}{{60}}\)
Chọn B
Bài tập 6.14 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và kỹ năng giải quyết vấn đề. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Một người nông dân có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 100m và chiều rộng 60m. Người nông dân muốn xây một khu vườn hình chữ nhật bên trong mảnh đất đó, sao cho các cạnh của khu vườn song song với các cạnh của mảnh đất. Hỏi khu vườn có diện tích lớn nhất có thể là bao nhiêu?
Bước 1: Xác định ẩn và biểu diễn các đại lượng liên quan
Bước 2: Thiết lập hàm số biểu diễn diện tích của khu vườn
Để tìm diện tích lớn nhất của khu vườn, ta cần thiết lập một hàm số biểu diễn diện tích S theo một biến độc lập. Tuy nhiên, bài toán này chưa đủ dữ kiện để thiết lập hàm số trực tiếp. Do đó, cần xem xét lại đề bài hoặc giả định thêm một điều kiện nào đó.
Giả sử, người nông dân muốn xây khu vườn sao cho khoảng cách từ các cạnh của khu vườn đến các cạnh của mảnh đất là như nhau. Gọi khoảng cách này là a. Khi đó, ta có:
Thay vào công thức tính diện tích, ta được:
S = (100 - 2a)(60 - 2a) = 6000 - 200a - 120a + 4a2 = 4a2 - 320a + 6000
Bước 3: Tìm giá trị của a để diện tích S đạt giá trị lớn nhất
Hàm số S = 4a2 - 320a + 6000 là một hàm bậc hai với hệ số a = 4 > 0. Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol. Tuy nhiên, bài toán yêu cầu tìm diện tích lớn nhất, nên cần xem xét khoảng giá trị của a.
Vì 0 < x < 100 và 0 < y < 60, nên ta có:
Vậy, 0 < a < 30.
Để tìm giá trị của a làm cho S đạt giá trị lớn nhất trong khoảng (0, 30), ta tính đạo hàm của S theo a:
S' = 8a - 320
Giải phương trình S' = 0, ta được:
8a - 320 = 0 => a = 40
Tuy nhiên, a = 40 không nằm trong khoảng (0, 30). Do đó, ta cần xét giá trị của S tại các đầu mút của khoảng (0, 30).
Khi a → 0, S → 6000.
Khi a = 30, S = (100 - 2*30)(60 - 2*30) = (40)(0) = 0.
Vậy, diện tích lớn nhất của khu vườn là 6000 m2 khi a → 0.
Diện tích lớn nhất của khu vườn mà người nông dân có thể xây dựng là 6000 m2. Điều này xảy ra khi khu vườn chiếm toàn bộ mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.
Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ cách vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và kỹ năng giải quyết vấn đề là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
