Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 1 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2, trang 17, 18 và 19 của sách giáo khoa Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 18 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\);
b) \(y = \left( {x + 1} \right){e^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6x + 5 = 6\left( {{x^2} - x + \frac{5}{6}} \right) = 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{2} > 0\;\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)
Do đó, hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = {2.2^3} - {3.2^2} + 5.2 + 2 = 16\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 16,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 2\)
b) Ta có: \(y' = {e^{ - x}} - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}} = {e^{ - x}}\left( {1 - x - 1} \right) = - x.{e^{ - x}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\))
\(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 18 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 18 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số \(N\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12,\) trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm N’(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Với \(0 \le t \le 12\) ta có:
\(N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t,N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( {tm} \right)\\t = 8\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Ta có: \(N\left( 0 \right) = 0,N\left( 8 \right) = - {8^3} + {12.8^2} = 256,N\left( {12} \right) = - {12^3} + {12.12^2} = 0\)
Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.
b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: \(N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t\)
Đặt \(f\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t\), với \(0 \le t \le 12\)
Ta có: \(f'\left( t \right) = - 6t + 24,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( {tm} \right)\)
\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 4 \right) = - {3.4^2} + 24.4 = 48,f\left( {12} \right) = - {3.12^2} + 24.12 = - 144\)
Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t = 4\) (tuần thứ 4).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), với đồ thị như Hình 1.16.
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).
b) Tính đạo hàm f’(x) và tìm các điểm \(x \in \left( { - 1;2} \right)\) mà \(f'\left( x \right) = 0\).
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right)\), số lớn nhất trong các giá trị này với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tính: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập D.
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \le M\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = M\).
Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \ge m\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = m\).
Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) ta có:
+ Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 1\).
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 2\).
b) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 0,x = \frac{4}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\).
c) Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{4}{3}} \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^3} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} + 1 = \frac{{ - 5}}{{27}};f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 2\);
\(f\left( 2 \right) = {2^3} - {2.2^2} + 1 = 1\)
Do đó, số nhỏ nhất trong các giá trị này là \( - 2\), số lớn nhất trong các giá trị này là 1.
Ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = - 2\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), với đồ thị như Hình 1.16.
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).
b) Tính đạo hàm f’(x) và tìm các điểm \(x \in \left( { - 1;2} \right)\) mà \(f'\left( x \right) = 0\).
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right)\), số lớn nhất trong các giá trị này với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tính: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập D.
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \le M\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = M\).
Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \ge m\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = m\).
Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) ta có:
+ Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 1\).
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 2\).
b) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 0,x = \frac{4}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\).
c) Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{4}{3}} \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^3} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} + 1 = \frac{{ - 5}}{{27}};f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 2\);
\(f\left( 2 \right) = {2^3} - {2.2^2} + 1 = 1\)
Do đó, số nhỏ nhất trong các giá trị này là \( - 2\), số lớn nhất trong các giá trị này là 1.
Ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = - 2\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 18 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\);
b) \(y = \left( {x + 1} \right){e^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6x + 5 = 6\left( {{x^2} - x + \frac{5}{6}} \right) = 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{2} > 0\;\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)
Do đó, hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = {2.2^3} - {3.2^2} + 5.2 + 2 = 16\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 16,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 2\)
b) Ta có: \(y' = {e^{ - x}} - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}} = {e^{ - x}}\left( {1 - x - 1} \right) = - x.{e^{ - x}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\))
\(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 18 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 18 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số \(N\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12,\) trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm N’(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Với \(0 \le t \le 12\) ta có:
\(N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t,N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( {tm} \right)\\t = 8\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Ta có: \(N\left( 0 \right) = 0,N\left( 8 \right) = - {8^3} + {12.8^2} = 256,N\left( {12} \right) = - {12^3} + {12.12^2} = 0\)
Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.
b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: \(N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t\)
Đặt \(f\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t\), với \(0 \le t \le 12\)
Ta có: \(f'\left( t \right) = - 6t + 24,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( {tm} \right)\)
\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 4 \right) = - {3.4^2} + 24.4 = 48,f\left( {12} \right) = - {3.12^2} + 24.12 = - 144\)
Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t = 4\) (tuần thứ 4).
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 17 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức chứa các bài tập vận dụng kiến thức về khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn và cách tính giới hạn của một số hàm số đơn giản.
Bài 1: Tính giới hạn limx→2 (x2 - 4) / (x - 2). Lời giải: Ta có (x2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 với x ≠ 2. Do đó, limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4.
Bài 2: Tính giới hạn limx→0 sin(x) / x. Lời giải: Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Sử dụng định lý giới hạn đặc biệt, ta có limx→0 sin(x) / x = 1.
Trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào các bài tập về giới hạn của hàm số tại vô cùng. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các phương pháp tính giới hạn tại vô cùng, như chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
Bài 3: Tính giới hạn limx→+∞ (2x2 + 3x - 1) / (x2 + 2). Lời giải: Ta chia cả tử và mẫu cho x2, ta được limx→+∞ (2 + 3/x - 1/x2) / (1 + 2/x2) = 2/1 = 2.
Trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức chứa các bài tập tổng hợp về giới hạn, bao gồm cả giới hạn tại một điểm và giới hạn tại vô cùng. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết.
Bài 4: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x + 1) / (x - 2). Lời giải: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = a, với a là nghiệm của phương trình mẫu số = 0. Trong trường hợp này, x - 2 = 0, suy ra x = 2. Vậy, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2.
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!
