Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết phương trình mặt cầu trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về phương trình mặt cầu, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về định nghĩa, phương trình chính tắc, phương trình tổng quát của mặt cầu, cũng như các ứng dụng thực tế của kiến thức này.
1. Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) |
Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E(0 < \alpha ,\beta < 90)\) thì có tọa độ \(M(\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ })\). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: \({10^ \circ }N,{15^ \circ }E\) đến vị trí Q: \({80^ \circ }N,{70^ \circ }E\).
Giải:
Ta có: \(P(\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(Q(\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Suy ra: \(\overrightarrow {OP} = (\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(\overrightarrow {OQ} = (\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Do đó,
\(\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} = \cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ } + \cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ } + \sin {10^ \circ }\sin {80^ \circ } \approx 0,2691\).
Vì P, Q thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1\).
Do đó \(\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,2691.\) Suy ra, \(\widehat {POQ} \approx 74,{3893^ \circ }\).
Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là \(2\pi \approx 6,2832\), nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{74,3893}}{{360}}.6,2832 \approx 1,2983\).
Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).
Phương trình mặt cầu là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:
x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Trong đó, tâm của mặt cầu là I(a; b; c) và bán kính R được tính bởi:
R = √(a² + b² + c² - d)
Điều kiện để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu là: a² + b² + c² - d > 0
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4.
Giải: Tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3) và bán kính R = √4 = 2.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 0; 0) và bán kính R = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu là x² + y² + z² = 25.
Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như trong việc mô tả hình dạng của các vật thể hình cầu, trong kỹ thuật xây dựng, trong lĩnh vực hàng không vũ trụ, và trong các bài toán tối ưu hóa.
Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Bạn có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online.
Bài học về lý thuyết phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về chủ đề này. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt cầu.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² | Phương trình chính tắc của mặt cầu |
| x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 | Phương trình tổng quát của mặt cầu |
| R = √(a² + b² + c² - d) | Tính bán kính mặt cầu từ phương trình tổng quát |
