Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả.

1. Tính đơn điệu của hàm số Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K

Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Ta có: \(y' = \frac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

3. BBT

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

4. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 3

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 4

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán. Với bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần về tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò then chốt trong việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao khả năng tư duy toán học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết, các định lý quan trọng, và phương pháp áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan.

I. Khái niệm cơ bản

1. Tính đơn điệu của hàm số: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).

2. Cực trị của hàm số: Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x thuộc (a, b).

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f(x) có cực trị tại điểm x0 thì:

f'(x0) = 0
f'(x) đổi dấu khi x đi qua x0

Lưu ý: Điều kiện f'(x0) = 0 là điều kiện cần nhưng không đủ để hàm số có cực trị tại x0.

III. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f(x) liên tục tại x0 và:

f'(x0) = 0
Tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho:

f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, x0) và f'(x) < 0 với mọi x thuộc (x0, b) thì x0 là điểm cực đại của f(x).
f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, x0) và f'(x) > 0 với mọi x thuộc (x0, b) thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).

IV. Quy tắc xét dấu đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng (a, b). Khi đó:

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì f(x) nghịch biến trên (a, b).
Nếu f'(x) = 0 tại một số điểm x1, x2, ..., xn thuộc (a, b) thì các điểm này là các điểm dừng của hàm số.

V. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết tính đơn điệu và cực trị có nhiều ứng dụng trong việc:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Phân tích sự biến thiên của hàm số.

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x^2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu đạo hàm:

Với x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến
Với 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến
Với x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến

Kết luận: Hàm số có điểm cực đại tại x = 0, f(0) = 2 và điểm cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2

Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = (x-1)/(x+1).

Giải:

... (Tiếp tục giải thích và đưa ra kết quả)

VII. Kết luận

Việc nắm vững lý thuyết tính đơn điệu và cực trị của hàm số là vô cùng quan trọng đối với học sinh lớp 12. Thông qua việc hiểu rõ các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập, bạn có thể tự tin đối mặt với các bài toán khó và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.