Bài tập 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’. a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \). b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \).b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Sử dụng kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng để chứng minh: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm M tùy ý ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).
Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để chứng minh: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) Sử dụng kiến thức về 2 vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương và 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên \(\overrightarrow {A'G} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} \).
Vì I là trung điểm BD nên \(\overrightarrow {A'I} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'D} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} } \right) = - \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
Do đó, \(\overrightarrow {A'G} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G} = \overrightarrow {AA'} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
Do đó, \(\overrightarrow {AC'} = 3\overrightarrow {AG} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) và \(\overrightarrow {AG} \) cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.
Bài tập 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
f'(x) = 3x2 - 6x
f'(x) = 0 ⇔ 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = -2.
Khi giải các bài toán về cực trị của hàm số, cần thực hiện đầy đủ các bước sau:
Bài toán về cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để củng cố kiến thức về cực trị của hàm số, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Bài tập 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về cực trị của hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh có thể giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả.
