Bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 2.41, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\). a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \). c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\).a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và tính độ dài đoạn thẳng AB.b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \).c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ điểm M: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu và chỉ nếu \(\left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\\z = z'\end{array} \right.\).
c) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {MP} \) (k là số thực) thì \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) cùng phương và ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 4; - 1 - 2;2 + 1} \right) = \left( { - 3; - 3;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3 \)
b) Gọi M (x; y; z) thì \(\overrightarrow {MC} = \left( { - x; - 2 - y,3 - z} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x = - 3\\ - 2 - y = - 3\\3 - z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\). Do đó, M(3; 1; 0).
c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)
Ta có: \(\overrightarrow {AN} \left( {x - 4;y - 2;1} \right);\overrightarrow {BN} \left( {x - 1;y + 1; - 2} \right)\)
Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {BN} \) (với k là số thực bất kì)
Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = k\left( {x - 1} \right)\\y - 2 = k\left( {y + 1} \right)\\1 = - 2k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\\y - 2 = - \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)\\k = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy N(3; 1)
Bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
f'(x) = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 2
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
Để giải quyết bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Đạo hàm không chỉ là một công cụ quan trọng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau, như:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Giaitoan.edu.vn cung cấp nhiều bài tập giải Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức với lời giải chi tiết, giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
