Bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 5.40, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình đường thẳng AC. c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC. d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình đường thẳng AC.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.
d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
b, c) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).
Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).
c, d) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 2; - 2;4} \right) \Rightarrow \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\)
a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1; - 2} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:
\( - 5\left( {x - 1} \right) + y - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 5x + y - 2z + 3 = 0\)
b) Đường thẳng AC đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) phương trình tham số đường thẳng AC là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\).
c) Gọi I là trung điểm của AC nên \(I\left( {0; - 1;1} \right)\)
Mặt cầu đường kính AC có bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt 6 \) và tâm \(I\left( {0; - 1;1} \right)\) nên phương trình mặt cầu là: \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)
d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và bán kính \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \) nên phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\)
Bài tập 5.40 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán tối ưu hóa, thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và các phương pháp giải phương trình, bất phương trình.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, học sinh cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Xác định hàm số cần tối ưu hóa, khoảng xác định của hàm số, và mục tiêu của bài toán (tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất).
Giả sử bài tập 5.40 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x2 + 4x + 1 trên đoạn [0; 3].
Các bài tập tối ưu hóa có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, như trong kinh tế (tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí), kỹ thuật (tối ưu hóa thiết kế, hiệu suất), và khoa học (tối ưu hóa mô hình, thuật toán). Việc nắm vững kiến thức về tối ưu hóa giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
