Ứng dụng đạo hàm là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Nắm vững kiến thức này giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả và chính xác.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập đa dạng để giúp bạn hiểu sâu sắc về ứng dụng đạo hàm.
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
- Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển đọng trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật. Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t) - Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t - Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t - Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên - Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1 |
Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\)
a) Tìm vận tốc của vật sau 2s
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
Lời giải
a) Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)
Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = - \frac{b}{{2a}} = 2,5s\). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)
c) Vật chạm đất khi h = 0, tức là \(2 + 24,5t - 4,9{t^2} = 0\) hay \(t \approx 5,08s\)
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn
2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản
Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa
Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng trong bài toán Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x) Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận |
Ví dụ: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất
Đổi 1 lít = 1000 cm3
Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ
Diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)
Do thể tích của hình trụ là 1000 cm3 nên ta có: \(V = \pi {r^2}h = 1000\) hay \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r},r > 0\)
Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
\(S' = 4\pi r - \frac{{2000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}};S' = 0 \Leftrightarrow \pi {r^3} = 500 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)
BBT
Khi đó: \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}}\)
Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,42(cm)\) và chiều cao \(h = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}} \approx 10,84(cm)\)
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, không chỉ để tìm hiểu về sự thay đổi của hàm số mà còn để giải quyết nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực khác nhau. Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các vấn đề liên quan đến thực tiễn là một phần quan trọng, giúp học sinh rèn luyện tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là giải các bài toán tối ưu hóa. Các bài toán này thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định. Ví dụ:
Để giải các bài toán tối ưu hóa, ta thường thực hiện các bước sau:
Đạo hàm cũng được sử dụng để tính tốc độ thay đổi của một đại lượng theo thời gian hoặc theo một biến số khác. Ví dụ:
Để giải các bài toán về tốc độ thay đổi, ta thường sử dụng đạo hàm của hàm số biểu diễn đại lượng cần tính tốc độ thay đổi.
Đạo hàm có thể được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai điểm thay đổi hoặc góc giữa hai đường thẳng thay đổi. Ví dụ:
Để giải các bài toán này, ta thường sử dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác và các công thức hình học.
Ví dụ 1: Một người nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 100m2. Hỏi người đó cần dùng bao nhiêu mét hàng rào để rào khu vườn với chi phí thấp nhất?
Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y. Ta có xy = 100. Chu vi của khu vườn là P = 2(x + y). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P. Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào P, ta được P = 2(x + 100/x). Tính đạo hàm của P theo x, ta được P' = 2(1 - 100/x2). Giải phương trình P' = 0, ta được x = 10. Khi đó y = 10. Vậy khu vườn có hình vuông với cạnh 10m thì chi phí rào thấp nhất. P = 2(10 + 10) = 40m.
Để nắm vững kiến thức về ứng dụng đạo hàm, bạn nên luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Bạn có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn. Việc giải bài tập thường xuyên sẽ giúp bạn hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
Ứng dụng đạo hàm là một công cụ quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc nắm vững kiến thức về ứng dụng đạo hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ khi cần thiết để đạt được kết quả tốt nhất trong học tập.
