Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài 44 trang 20 sách bài tập Toán 12 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong các kỳ thi.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập Toán 12 có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaitoan.edu.vn đã biên soạn lời giải bài 44 trang 20 một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và dễ tiếp thu.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) \(y = {3^x} + {3^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\); b) \(y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\); c) \(y = \ln \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\); d) \(y = - 3{\rm{x}} + 5 + x\ln {\rm{x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\);
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) \(y = {3^x} + {3^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);
b) \(y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);
c) \(y = \ln \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\);
d) \(y = - 3{\rm{x}} + 5 + x\ln {\rm{x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\);
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = {3^x}.\ln 3 - {3^{ - x}}.\ln 3\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).
\(y\left( { - 1} \right) = \frac{{10}}{3};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = \frac{{82}}{9}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \frac{{82}}{9}\) tại \(x = 2\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = 2\) tại \(x = 0\).
b) Ta có: \(y' = {\left( x \right)^\prime }.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.{\left( {{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}} \right)^\prime } = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.\left( { - 4{\rm{x}}} \right).{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\left( {1 - 4{{\rm{x}}^2}} \right)\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = \frac{1}{2}\).
\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt e }};y\left( 1 \right) = \frac{1}{{{e^2}}}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \frac{1}{{2\sqrt e }}\) tại \(x = \frac{1}{2}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 0\) tại \(x = 0\).
c) Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}} = \frac{{2{\rm{x}} + 2}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = - 1\).
\(y\left( { - 2} \right) = \ln 3;y\left( { - 1} \right) = \ln 2;y\left( 3 \right) = \ln 18\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 18\) tại \(x = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 2\) tại \(x = - 1\).
d) Ta có: \(y = - 3 + {\left( x \right)^\prime }\ln {\rm{x}} + x{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = - 3 + \ln {\rm{x}} + x.\frac{1}{x} = \ln {\rm{x}} - 2\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(y' = 0\) không có nghiệm.
\(y\left( 1 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 3\ln 3 - 4\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 3\ln 3 - 4\) tại \(x = 3\).
Bài 44 trang 20 sách bài tập Toán 12 Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài 44 trang 20:
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tính f'(x) và tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải quyết bài tập về đạo hàm, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài 44 trang 20:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và các lưu ý quan trọng.)
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập về đạo hàm, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ minh họa:
(Các ví dụ minh họa sẽ được trình bày ở đây, kèm theo lời giải chi tiết.)
Ngoài ra, bạn có thể tự luyện tập với các bài tập tương tự sau:
Khi giải bài tập về đạo hàm, bạn cần lưu ý những điều sau:
Hy vọng rằng, với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể tự tin giải bài 44 trang 20 sách bài tập Toán 12 Cánh Diều. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán. Chúc bạn học tập tốt!
