Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 1.34 trang 46 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Ngoài ra, chúng tôi còn cung cấp nhiều bài tập tương tự để các em luyện tập và củng cố kiến thức.
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Đề bài
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị.
- Tính đạo hàm cấp hai và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \infty \)
Ta có:
\({y^\prime } = - 3{x^2} + 3\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0 \leftrightarrow x = \pm 1\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-1) và (1,∞), đồng biến trên khoảng (-1,1).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1,{y_{CT}} = - 1\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,1).
Giao điểm với trục Ox là (-1,53;0), (-0,53;0) và (1,88;0).
- Tính đạo hàm bậc hai: \(f''(x) = - 6x\)
- Giải phương trình \(f''(x) = 0\): \( - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(x = 0 \to f(0) = 1\)
Vậy (0,1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Bài tập 1.34 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm của hàm số và các ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi và kiểm tra, do đó việc hiểu rõ cách giải là vô cùng cần thiết.
Bài tập yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm f'(x)
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0
Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được:
3x(x - 2) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số
Ta có bảng biến thiên sau:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | NB | ĐC | TB |
(NB: Nghịch biến, ĐC: Đồng biến, TB: Điểm cực trị)
Bước 4: Xác định các điểm cực trị của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
Bước 5: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập 1.34 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 và tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
