Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chuyên viên phân tích thị trường của một công ty X sản xuất máy xay sinh tố nhận thấy rằng, nếu công ty sản xuất x máy xay hằng năm thì tổng lợi nhuận thu được sẽ tính theo công thức: \(y = f(x) = 8x + 0,3{x^2} - 0,0013{x^3} - 372\) (triệu đồng) a) Công ty X cần sản xuất ít nhất bao nhiêu máy xay để không bị lỗ, biết rằng công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi? b) Lợi nhuận lớn nhất công ty có thể thu được là bao nhiêu? Khi đó cần sản xuất bao nhiêu máy xay?
Đề bài
Chuyên viên phân tích thị trường của một công ty X sản xuất máy xay sinh tố nhận thấy rằng, nếu công ty sản xuất x máy xay hằng năm thì tổng lợi nhuận thu được sẽ tính theo công thức: \(y = f(x) = 8x + 0,3{x^2} - 0,0013{x^3} - 372\) (triệu đồng)
a) Công ty X cần sản xuất ít nhất bao nhiêu máy xay để không bị lỗ, biết rằng công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi?
b) Lợi nhuận lớn nhất công ty có thể thu được là bao nhiêu? Khi đó cần sản xuất bao nhiêu máy xay?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để tìm số lượng máy xay ít nhất để không bị lỗ:
- Lợi nhuận không âm (không bị lỗ) khi y ≥ 0.
- Giải bất phương trình để tìm giá trị nhỏ nhất thỏa mãn y ≥ 0.
- Do công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi nên ta loại bỏ các giá trị nhỏ hơn 20.
b) Để tìm lợi nhuận lớn nhất và số lượng máy xay tương ứng:
- Tìm đạo hàm y'.
- Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng xác định (nếu có) để so sánh và tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
a)
Để không bị lỗ thì
Do công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi vì
\(f(20) = 8(20) + 0,3{(20)^2} - 0,0013{(20)^3} - 372 = - 102,4\)
Nên ta loại bỏ các giá trị x ≤ 20.
Sử dụng máy tính cầm tay để giải bất phương trình:
\(f(x) \ge 0 \Rightarrow \{ _{25.23 \le x \le 250.76}^{x \le - 45.22}\)
Loại x ≤ -45.22 vì ta có điều kiện x > 20.
Suy ra để công ty X không bị lỗ thì cần sản xuất ít nhất \(\left\lceil {25,23} \right\rceil = 26\)máy xay.
b)
- Đạo hàm của hàm lợi nhuận: \(f'(x) = 8 + 0,6x - 0,0039{x^2}\)
- Giải phương trình \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 8 + 0,6x - 0,0039{x^2} = 0 \Rightarrow \{ _{x = - 12,34(KTMDK)}^{x = 166,19}\)
- Tính giá trị của hàm số tại \(x = \left[ {166,19} \right] = 166\) và tại các đầu mút của khoảng xác định là \(x = 26\) và \(x = 250\) (do số máy xay phải nằm trong khoảng [26;250] thì mới có lợi nhuận) để so sánh và tìm giá trị lớn nhất.
\(x = 166 \to f(166) = 8(166) + 0,3{(166)^2} - 0,0013{(166)^3} - 372 = 3276,1252\)
\(x = 26 \to f(26) = 8(26) + 0,3{(26)^2} - 0,0013{(26)^3} - 372 = 15,9512\)
\(x = 250 \to f(250) = 8(250) + 0,3{(250)^2} - 0,0013{(250)^3} - 372 = 65,5\)
Vậy lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là 3276,1252 (triệu đồng) và số máy xay cần sản xuất là 166 máy.
Bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
f'(x) = 3x2 - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Vậy, hàm số có hai điểm dừng là x = 0 và x = 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
limx→-∞ f(x) = -∞ và limx→+∞ f(x) = +∞.
Dựa trên các thông tin thu được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Các em có thể áp dụng các bước trên để giải các bài tập tương tự khác. Điều quan trọng là phải nắm vững các khái niệm về đạo hàm, cực trị và bảng biến thiên. Ngoài ra, các em cũng nên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
