Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (t=0 giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được xác định bởi công thức: \(v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083{\rm{ (feet/gi\^a y) }}\) (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này
Đề bài
Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (t=0 giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được xác định bởi công thức:
\(v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083{\rm{ (feet/giây) }}\)
(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính gia tốc từ vận tốc: Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. a(t)=v′(t).
Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của gia tốc:
- Để tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của gia tốc, chúng ta cần tính đạo hàm cấp hai của vận tốc, rồi tìm nghiệm của phương trình này.
- Kiểm tra các điểm cực trị và biên (từ t=0 đến t=126) để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của gia tốc.
Lời giải chi tiết
Ta có hàm vận tốc \(v(t)\) :\(v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083\)
Đạo hàm của \(v(t)\) là: \(a(t) = {v^\prime }(t) = \frac{d}{{dt}}\left[ {0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083} \right]\)
Áp dụng quy tắc đạo hàm:
\(\begin{array}{l}a(t) = 3.0,001302{t^2} - 2.0,09029t + 23,61\\a(t) = 0,003906{t^2} - 0,18058t + 23,61\end{array}\)
Đạo hàm của \(a(t)\) là:
\(\begin{array}{l}{a^\prime }(t) = \frac{d}{{dt}}\left[ {0,003906{t^2} - 0,18058t + 23,61} \right]\\{a^\prime }(t) = 2 \cdot 0,003906t - 0,18058\\{a^\prime }(t) = 0,007812t - 0,18058\end{array}\)
Giải phương trình \({a^\prime }(t) = 0\):
\(\begin{array}{l}0,007812t - 0,18058 = 0\\0,007812t = 0,18058\\t = \frac{{0,18058}}{{0,007812}}\\t \approx 23,11\end{array}\)
Ta có \(t \approx 23,11\). Chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của gia tốc tại các thời điểm \(t = 0,t = 23,11\) và \(t = 126\).
Tại \(t = 0\):
\(a(0) = 0,003906 \cdot {0^2} - 0,18058 \cdot 0 + 23,61 = 23,61\)
Tại \(t = 23,11\):
\(a(23,11) = 0,003906 \cdot {(23,11)^2} - 0,18058 \cdot 23,11 + 23,61 \approx 21,52\)
Tại \(t = 126\):
\(a(126) = 0,003906 \cdot {(126)^2} - 0,18058 \cdot 126 + 23,61 \approx 62,92\)
Kết luận:
Gia tốc lớn nhất: \( \approx 62,92\) feet / giây \(^2\) (tại \(t = 126\) giây).
Gia tốc nhỏ nhất: \( \approx 21,52\) feet/giây \(^2\) (tại \(t \approx 23,11\) giây)
Bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Bài toán thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 3t^2 - 6t + 2 (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2 giây.)
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải cụ thể, giải thích rõ ràng và kết luận.)
Ví dụ, nếu đề bài là tính quãng đường vật đi được, ta sẽ thực hiện các bước sau:
Để củng cố kiến thức về đạo hàm và tối ưu hóa, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các tài liệu luyện thi THPT Quốc gia. Giaitoan.edu.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải chi tiết và các dạng bài tập khác để hỗ trợ các em trong quá trình học tập.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn mở ra nhiều cơ hội trong các lĩnh vực khác.
Hy vọng bài giải bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
