Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về Phương sai và Độ lệch chuẩn, những khái niệm quan trọng trong thống kê Toán học lớp 12. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách tính toán và ứng dụng các công thức này đối với mẫu số liệu ghép nhóm.
Nội dung bài học được trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán.
Phương sai và độ lệch chuẩn
Phương sai và độ lệch chuẩn
- Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2 , là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}\) trong đó, \(n = {m_1} + ... + {m_k}\); \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) và \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. - Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \). |
Ý nghĩa
- Phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó.
- Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị và có số trung bình bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.
Nhận xét
- Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với mẫu số liệu.
- Khác với khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị, phương sai (độ lệch chuẩn) đã xem xét tất cả các giá trị của mẫu số liệu nên có thể mang lại một nhận định đầy đủ hơn về mức độ phân tán của mẫu số liệu quanh số trung bình.
Trong thống kê, phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng quan trọng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán hai đại lượng này có một số điểm khác biệt so với mẫu số liệu không ghép nhóm. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết và phương pháp tính toán phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trong chương trình Toán 12.
Mẫu số liệu ghép nhóm là tập hợp các số liệu được chia thành các khoảng (nhóm) và mỗi khoảng được biểu diễn bằng một giá trị đại diện, thường là trung điểm của khoảng đó. Ví dụ, nếu ta có dữ liệu về chiều cao của học sinh trong một lớp, ta có thể chia chiều cao thành các khoảng như: 150-155cm, 155-160cm, 160-165cm,...
Phương sai (ký hiệu là s2) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức sau:
s2 = ∑[(xi - x̄)2 * fi] / (n - 1)
Trong đó:
Độ lệch chuẩn (ký hiệu là s) là căn bậc hai của phương sai:
s = √s2
Giả sử ta có bảng số liệu về điểm thi Toán của 50 học sinh:
| Khoảng điểm | Trung điểm (xi) | Tần số (fi) |
|---|---|---|
| 5-6 | 5.5 | 5 |
| 6-7 | 6.5 | 10 |
| 7-8 | 7.5 | 15 |
| 8-9 | 8.5 | 10 |
| 9-10 | 9.5 | 10 |
Bước 1: Tính giá trị trung bình (x̄)
x̄ = (5.5*5 + 6.5*10 + 7.5*15 + 8.5*10 + 9.5*10) / 50 = 7.6
Bước 2: Tính phương sai (s2)
s2 = [(5.5-7.6)2*5 + (6.5-7.6)2*10 + (7.5-7.6)2*15 + (8.5-7.6)2*10 + (9.5-7.6)2*10] / (50-1)
s2 ≈ 2.45
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (s)
s = √2.45 ≈ 1.565
Phương sai và độ lệch chuẩn cho ta biết mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Phương sai và Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác để nắm vững kiến thức này nhé!
